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三角形的三心共线问题
最后更新于 2025-07-23 20:34:53
作者
EnofTaiPeople
分类
学习·文化课
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## 三角形的三心共线问题 ### 第一部分：问题引入 重心 P：三角形三条中线的交点； 垂心 Q：三角形三条中线的交点； 外心 R：三角形三边的垂直平分线的交点。 本论文研究的是如上三角形三心的共线问题。 首先，在直角三角形中，垂心即直角上的顶点，外心即斜边上的中点，有定义可知，重心在两点所组成的中线上，于是三点共线，如图一。  我们猜想，在任意三角形中都有重心，垂心，外心，三点共线。 ### 第二部分：前置知识及引理 知识一：相似三角形 定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 定理一：相似三角形任意对应线段的比等于相似比。 定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理三：三条边对应平行的两个三角形相似。 如图二，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 中点，$E$ 为 $AB$ 中点。  于是，在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle AED$ 中， $\because\angle A=\angle A,\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$， $\therefore\triangle ABC\sim\triangle AED$，且相似比为 $\frac{1}{2}$。 知识二：中位线 定义：连接三角形两边中点的线段。 如图二，$DE$ 便是 $\triangle ABC$ 的中位线，$\because\triangle ABC\sim\triangle AED\therefore\angle ADE=\angle ABC\therefore DE//BC$， 定理四：三角形中位线平行于对应边，长度是对应边的一半。 引理一：三角形中线上，顶点到重心的长度是重心到对边长度的两倍。 如图三，$P$ 为三角形重心，$\because BD=DC\therefore S_{\triangle BPD}=S_{\triangle CPD},S_{\triangle APB}=S_{\triangle APC}$，同理，$S{\triangle APB}=S_{\triangle APB}=S_{\triangle BPC}$，故 $S_{\triangle APB}=\frac{S_{\triangle ABC}}{3}$，$\therefore DP=\frac{AD}{3},AP=2DP$，引理成立。  引理二：三角形垂心到某顶点距离是外心到该顶点对边中点距离的两倍。 如图四，$DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，故 $DE//AB$，又$\because BQ\perp AC,ER\perp AC\therefore ER//BQ$，同理，$AQ//DR$，由定理三，$\triangle ABQ\sim\triangle DER$，又 $\because AB=2DE,\therefore AQ=2DR$，引理成立。  第三部分：解决问题 很明显，文章第二部分大多是针对非直角三角形的，而直角三角形的情况在开头就说明了。  如图五，$\because AQ//DR,\therefore\angle PAQ=\angle PDR$，由引理一和引理二，$\frac{AP}{DP}=\frac{AQ}{DR}=2$，故 $\triangle PAQ\sim\triangle PDR,\angle APQ=\angle DPR$，又 $\because \angle QPD+\angle APQ=180\degree,\therefore \angle QPD+\angle DPR=180\degree,\therefore Q,P,R$ 三点共线。
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