欧拉公式的推导 最后更新于 2025-05-01 16:09:21

$e^{iπ}+1=0$ 设$z = a + bi\in\mathbf{C}(a,b\in\mathbf{R})$ $$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{z}{x}\right)^x$$ $$=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\left(1 + \frac{z}{x}\right)^{\frac{x}{z}}\right)^z$$ $$=\left(\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{z}{x}\right)^{\frac{x}{z}}\right)^z$$ $$=e^z$$ 那么$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{z}{x}\right)^x = e^z$，即$ e^{a + bi}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{a + bi}{x}\right)^x$。 由上式可得$e^{a + bi}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x + a}{x}+\frac{b}{x}i\right)^x$。 设$\left(\frac{x + a}{x}+\frac{b}{x}i\right)^x = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，据模与辐角的定义及棣莫弗公式可得$r = \left(\left(\frac{x + a}{x}\right)^2+\left(\frac{b}{x}\right)^2\right)^{\frac{x}{2}}$, $\theta = x\arctan\left(\frac{b}{x + a}\right)$。 $$\lim_{x\rightarrow\infty}\ln r$$ $$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2}\ln\left(1 + \frac{2a}{x}+\frac{a^2 + b^2}{x^2}\right)$$ $$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2}\left(\frac{2a}{x}+\frac{a^2 + b^2}{x^2}\right)$$ $$=a$$ 即$\lim_{x\rightarrow\infty}r = e^a$。