浅谈一类导数构造问题的微分方程解法

# 闲话

我在学校跟同桌声称我已经会了这类题的通用解法。

某同学听到之后说：你敢不敢跟我举行构造大战？

我当然敢！

感谢这位同学提供的若干题目。

# 前言

在高中数学中，有这么一类题目，它给出 $f
(x)$ 与其导数 $f'(x)$ 之间的不等关系（如 $f(x)>f'(x)$），我们需要把这个不等式改写成 $g'(x)>0$ 或 $g'(x)<0$ 的形式，然后解决一些问题。

在学校中，老师通常教授的方法是直接逆推（猜）原函数，这样确实能很快解决一些简单的形式，如：

## 例 1

$$
\begin{aligned}
&f(x)>f'(x)\\
\iff&\dfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}<0\\
\iff&[\dfrac{f(x)}{e^x}]'<0
\end{aligned}
$$

但是一旦不等式复杂一些，或者学生的数感没有那么强的时候，学生往往会在这种题上耗费很长时间，最后甚至可能一无所获。

本文将提供一种基于解微分方程的通用解法，希望能给对这类题目有困惑的同学们提供一种新思路。

## 前置知识

希望读者掌握的前置知识（也就是本文不会讲的）：

高中范围内的求导法则，一些简单的积分。

本文同时也不会讲微分方程的定义之类的知识，只会讲其解法，把它当一个黑箱使用，因此有一些表述也不会很严谨。毕竟这种题目只出现在选填里，我们也并不关心步骤，不是吗（）

笔者才疏学浅，若有错误还请批评指正。同时向读者征求一些适合做例题的优质题目，欢迎投稿。

# 思路简述

第一步，把题目中给出的不等号变成等号，得到一个微分方程，通过求解这个方程得到 $f(x)$ 的解析式，我们得到的 $f(x)$ 通常在某一地方会有一个常数 $C$。

第二步，把这个常数 $C$ 挪到等号一侧，剩下的全都挪到等号另一侧，得到 $h(x)=C$ 的形式。然后两边求导得到 $h'(x)=0$。

第三步，由于我们已经得到了一个临界状态，所以题目里的不等式必然等价于 $h'(x)>0$ 和 $h'(x)<0$ 中的一个！接下来需要做的只是简单的验证工作。

我们还是通过例 $1$ 来帮助读者理解这套方法。

第一步，转化为 $f(x)=f'(x)$，解得 $f(x)=Ce^x$。（微分方程的解法后文会提）

第二步，得到 $h(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}=C$ 的形式，两边求导得 $h'(x)=0$。

第三步，验证得题目所给不等式等价于 $h'(x)<0$。

至此，我们要做的只剩下求解第一步中的微分方程。

# 微分方程的求解

我们只需要掌握一些简单的方法，足够解决高中的题目就可以了。以下介绍的不同方法对应了不同的微分方程，并且都给出了至少一道例题。

首先，我们把 $f(x)$ 改写成 $y$，$f'(x)$ 改写成 $\dfrac{dy}{dx}$。

## 可分离变量的微分方程

> 对应例 $1,3,6$。

可以直接转化为“$f(x)dx=g(y)dy$”的形式的方程，也是最简单的一种微分方程。

例：
$$
\begin{aligned}
\dfrac{dy}{dx}=2xy^2\\
2xdx=\dfrac{1}{y^2}dy\\
\end{aligned}
$$

接下来我们只需要两边积分：

$$
\begin{aligned}
\int2xdx &=\int\dfrac{1}{y^2}dy\\
x^2&=-\dfrac{1}{y}+C\\
y&=-\dfrac{1}{x^2+C}\\
f(x)&=-\dfrac{1}{x^2+C}\\
\end{aligned}
$$

接下来的一切方法都是为了将微分方程转化为这种形式。

## 齐次微分方程

> 对应例 $2,5$。

若微分方程满足每一项关于 $x,y$ 的次数和都等于常数 $n$，则称其为齐次微分方程。

解法为两边同除 $x^n$，然后换元，令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$，同时有：

$$
\begin{aligned}
\dfrac{dy}{dx}=y'=(ux)'=u'x+u=\dfrac{du}{dx}x+u
\end{aligned}
$$

将与 $y$ 有关的式子都用 $u$ 代换后通常就可以分离变量了。

例：

$$
\begin{aligned}
y^2+x^2\dfrac{dy}{dx}&=xy\dfrac{dy}{dx}\\
(\dfrac{y}{x})^2+\dfrac{dy}{dx}&=(\dfrac{y}{x})\dfrac{dy}{dx}\\
\text{令} u&=\dfrac{y}{x}\\
u^2+\dfrac{dy}{dx}&=u\dfrac{dy}{dx}\\
u^2+\dfrac{du}{dx}x+u&=\dfrac{du}{dx}xu+u^2\\
\dfrac{1}{x}dx&=(1-\dfrac{1}{u})du\\
\int\dfrac{1}{x}dx&=\int(1-\dfrac{1}{u})du\\
\ln x&=u-\ln u+C=\dfrac{y}{x}-\ln y+\ln x+C\\
y&=Ce^{\frac{y}{x}}
\end{aligned}
$$

解到这里已经不能再化简了，就是举个例子，高中应该遇不到这种。

## 一阶线性微分方程

> 对应例 $4$ 的法二。

什么？你说题目里的方程不是前两种的形式？

称形如 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的方程为一阶线性微分方程。

解决这类方程的思路为常数变易法。

首先当 $Q(x)=0$ 的时候，这个方程可以分离变量，于是我们解得此时的一个 $y_0=Ce^{-\int P(x)dx}$，设 $e^{-\int P(x)dx}=T$，则 $y_0=CT$。

接下来，我们将 $C$ 改为一个新函数 $u(x)$，将 $y=uT$ 代入原式，可以发现方程变成了 $u'T=Q(x)$ 的形式！

于是我们再解出 $u$ 就可以了。

关于常数变易法为什么要这么做，我认为这里[常数变易法思想的来源或本质是什么？](https://www.zhihu.com/question/31329122)有很详细的解释，在此不多赘述。

# （可能需要的）积分技巧

## 分部积分法

> 对应例 $4$。

当我们需要求形如 $\int u'vdx$ 的积分时，考虑 $(uv)'=u'v+uv'$，两边积分有 $uv=\int u'vdx+\int uv'dx$，可以得到 $\int u'vdx=uv-\int uv'dx$。

当 $uv'$ 比 $u'v$ 积分舒服一些时，可以使用分部积分法。

例：

$$
\begin{aligned}
&\int x\ln xdx\\
=&\int (\dfrac{1}{2}x^2)'\ln xdx\\
=&(\dfrac{1}{2}x^2)\ln x-\int \dfrac{1}{2}x^2(\ln x)'dx\\
=&\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\int\dfrac{1}{2}xdx\\
=&\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C\\
\end{aligned}
$$

# 例题

有一些其实可以直接瞪眼猜出来，仅作为例子，微分方程只是万不得已的手段（）

## 例 2

$$f(x)>xf'(x)+x\ \ (x>0)$$

>$$
>\begin{aligned}
>f(x)&=xf'(x)+x\\
>y&=x\dfrac{dy}{dx}+x
>\end{aligned}
>$$
>不难发现它是齐次的，于是
>$$
>\begin{aligned}
>\dfrac{y}{x}&=\dfrac{dy}{dx}+1\\
>\text{令}\ u&=\dfrac{y}{x}\\
>u&=\dfrac{dy}{dx}+1=\dfrac{du}{dx}x+u+1\\
>-\dfrac{1}{x}dx&=du\\
>\int -\dfrac{1}{x}dx&=\int du\\
>-\ln x&=u+C=\dfrac{y}{x}+C\\
>f(x)=y&=-x\ln x+Cx\\
>h(x)&=\dfrac{f(x)}{x}+\ln x=C\\
>h'(x)&=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}+\dfrac{1}{x}=0
>\end{aligned}
>$$

验证得题目中的不等式等价于 $h'(x)<0$ 恒成立。

## 例 3

$$[f(x)]^2f'(x)-x>0$$

>$$
>\begin{aligned}
>y^2\dfrac{dy}{dx}-x&=0\\
>y^2dy&=xdx\\
>\int y^2dy&=\int xdx\\
>\dfrac{1}{3}y^3&=\dfrac{1}{2}x^2+C\\
>h(x)&=\dfrac{1}{3}[f(x)]^3-\dfrac{1}{2}x^2=C\\
>h'(x)&=[f(x)]^2f'(x)-x=0
>\end{aligned}
>$$

验证得题目中的不等式等价于 $h'(x)>0$ 恒成立。

## 例 4

$$xf'(x)+2f(x)>\ln x\ \ (x>0)$$

### 法一

>你是不是很想给两边乘个 $x$：
>$$
>x^2f'(x)+2xf(x)>x\ln x
>$$
>然后这里两边积分一下就做完了：
>$$
>\begin{aligned}
>x^2f'(x)+2xf(x)&=x\ln x\\
>x^2f(x)&=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C\\
>h(x)&=x^2f(x)-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{1}{4}x^2=C
>\end{aligned}
>$$

### 法二

>比较魔怔的做法。
>$$
>xy'+2y=\ln x
>$$
>发现是一阶线性微分方程，化为标准形式，套用常数变易法：
>$$
>\begin{aligned}
>y'+\dfrac{2}{x}y&=\dfrac{\ln x}{x}\\
>y_0=Ce^{-2\ln x}&=\dfrac{C}{x^2},T=\dfrac{1}{x^2}\\
>\text{设}\ y&=\dfrac{u}{x^2}\\
>\text{代入原方程，有} \ u'T=\dfrac{u'}{x^2}&=\dfrac{\ln x}{x} \\
>u'&=x\ln x\\
>\int u'dx&=\int x\ln x dx\\
>u&=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C\\
>y&=\dfrac{1}{2}\ln x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{C}{x^2}\\
>h(x)&=x^2f(x)-\dfrac{x^2\ln x}{2}+\dfrac{x^2}{4}=C\\
>\end{aligned}
>$$

验证得题目中的不等式等价于 $h'(x)>0$ 恒成立。

## 例 5

$$xf'(x)<2f(x)-2x\ \ (x>0)$$

>注意力好一点可以两边同乘 $x$ 套用例 $4$ 法一。
>
>或者发现这个是齐次微分方程，解之即可。
>$$h(x)=\dfrac{f(x)-2x}{x^2}=C$$

验证得题目中的不等式等价于 $h'(x)<0$ 恒成立。

## 例 6

$$3f(x)+xf'(x)<0 \ \ (x>0)$$

>可分离变量，比较简单。
>
>$$h(x)=x^3f(x)=C$$

验证得题目中的不等式等价于 $h'(x)<0$ 恒成立。

# 参考文献

[《高数如何做高考——构造函数问题》](https://zhuanlan.zhihu.com/p/466133458)

[《【高数笔记】微分方程及其求解（一）》](https://zhuanlan.zhihu.com/p/453830266)

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