浅谈数学之特殊角科技

# 0.前言

这个方法是数学老师讲的。笔者所写是为了解释这个方法的本质。

~~马上要月考了，写文章 rp++~~

# 1. 推导

## 1.1 引入

在**初二数学**中，有时会用到直角三角形中锐角与三边比的关系。但是三角函数还没有引入，于是我们需要找到替代方法。

下面将直角三角形中较小的锐角，记作 $\angle A$；将直角三角形中较大的锐角，记作 $\angle B$。直角记作 $\angle C$。

$\angle A, \angle B, \angle C$ 所对的边记作 $a, b, c$。

考虑一个 $3: 4: 5$ 的直角三角形：

![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/vj3e9ezh.png)

测量 $\angle A$ 的度数：

![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/1c0awf42.png)

注意到，$\angle A \approx 36.9 \degree$。

**我们规定**在 $3: 4 : 5$ 的直角三角形中，$\angle A = 37 \degree$。

## 1.2 推导其他角度
前置知识（只讨论锐角三角函数）：

$$
\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta
$$

$$
\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1+ \cos \alpha}{2}}
$$

在上面的规定中：
$$
\cos {37 \degree} = \dfrac{4}{5}, \sin {37 \degree} = \dfrac{3}{5}, \cos {53 \degree} = \dfrac{
3}{5}, \sin {53 \degree} = \dfrac{4}{5}
$$

### 1.2.1 推导 $16 \degree$

$$
\cos {16 \degree}
=\cos (53 \degree-37 \degree)
=\cos {53 \degree} \cos {37 \degree} +  \sin {37 \degree}\sin {53 \degree}
=\dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5}
=\dfrac{24}{25}
$$

所以，可以得到结论 $1$：

在 $7: 24 : 25$ 的直角三角形中，$\angle A = 16 \degree$。

### 1.2.2 推导 $18.5 \degree$

$$
\cos {18.5\degree}
=\cos (\dfrac{37 \degree}{2})
=\sqrt{\dfrac{1+ \cos {37 \degree}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{1+ \dfrac{4}{5}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{9}{10}}
=\dfrac{3}{\sqrt{10}}
=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}
$$

所以，可以得到结论 $2$：

在 $1: 3 : \sqrt{10}$ 的直角三角形中，$\angle A = 18.5 \degree$。

### 1.2.3 推导 $26.5 \degree$

类似地，可以推导 $26.5 \degree$：

$$
\cos {26.5\degree}
=\cos (\dfrac{53 \degree}{2})
=\sqrt{\dfrac{1+ \cos {53 \degree}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{1+ \dfrac{3}{5}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{4}{5}}
=\dfrac{2}{\sqrt{5}}
=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
$$

所以，可以得到结论 $3$：

在 $1: 2 : \sqrt{5}$ 的直角三角形中，$\angle A = 26.5 \degree$。

# 2. 结论

可以列一张表：

| $\angle A$ | 三边比 |
| :----------: | :----------: |
| $16 \degree$ | $7:24:25$ |
| $18.5\degree$ | $1: 3 : \sqrt{10}$ |
| $26.5\degree$ | $1: 2 : \sqrt{5}$ |
| $37\degree$ | $3:4:5$ |

# 2. 例题

## 2.1 折叠问题

这是一道折叠板子题。

如图所示，$\angle A=90 \degree$，$CA=3$，$BA=4$。在线段 $BC$ 上有一动点 $D$，折叠 $\triangle CDA$ 到 $\triangle C'DA$，使点 $C'$ 刚好落在线段 $AB$ 上。求 $AD$ 的长度。

![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/x0q0aboi.png)

解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle A=90 \degree$，

由勾股定理得 $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$。

由折叠知，$\angle CAD=\angle C'AD=45 \degree, CD=CD'$。

$\because \angle CAD=\angle C'AD$

$\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{CD}{DB}$ （角平分线定理）

即 $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{4}{3}$

设 $CD=x$，则 $BD=BC-CD=5-x$。

有 $\dfrac{x}{5-x}=\dfrac{4}{3}$

解得 $x=\dfrac{20}{7}$，经检验是原方程的解，所以 $CD=\dfrac{20}{7}$。

过点 $D$ 作 $DE \bot AC$ 于点 $E$。

$\because AC=3, AB=4, \angle CAB=90 \degree$

$\therefore \angle ACB=53 \degree$

在 $Rt \triangle CED$ 中，$\angle ECD=53 \degree, \angle CED=90 \degree$

$\therefore \dfrac{ED}{CD}=\dfrac{4}{5}$，即 $ED=\dfrac{16}{7}$

又 $\because \angle DEA=90 \degree, \angle DAE=45 \degree$

$\therefore AE=DE=\dfrac{16}{7}$

$\therefore AD=\dfrac{16 \sqrt{2}}{7}$

## 2.2 两线一圆问题

这是一道周练题。

在平面直角坐标系中，点 $A(0, 6)$，$B(-3, 0)$，$C(-2, 2)$。在坐标轴上存在一点 $G$，使 $\triangle ACG$ 是以点 $C$ 为直角顶点的直角三角形。求点 $G$ 的坐标。

![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/9c15utc3.png)

易知 $A, B, C$ 三点共线，且表达式为 $y=2x+6$。

易知 $AC=2\sqrt{5}, BC=\sqrt{5}$。

在 $Rt \triangle ABO$ 中，$AO=6, BO=3, \angle O=90 \degree$

$\therefore \angle BAO=26.5 \degree$

作 $l_1 \bot AB$ 于点 $C$。$l_1$ 交 $y$ 轴于点 $G_1$，交 $x$ 轴于点 $G_2$。

![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/nvlujwiw.png)

在 $Rt \triangle ABO$ 中，$\angle C=90 \degree, \angle CAG_1=26.5 \degree$

$\therefore \dfrac{AC}{AG_1}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$，即 $AG_1=5$。

所以 $G_1(0,1)$。

易证 $\angle CG_2B=26.5 \degree$。

同理 $BG_2=5$，所以 $G_2(2, 0)$。

综上所述，$G(0,1)$ 或 $G(2,0)$。

正在渲染内容...