初等数论赏析 II

最近看到天使猫猫酱出的题目，想提一下，正好加强一下自己的数论。

建议读物：[扩展 Euclid](/article/lvy8pyux)/[二次剩余](/article/ajjebv9m)/[Pell 方程](/article/0k12snqw)/[椭圆曲线](/article/vsasoe53)/[分解（上）](/article/6xppfq59)/[分解（下）](/article/w3g3egap)

## 中等难度

### Problem 8.
假设有集合 $A=\{m+n\sqrt3|m,n\in\mathbb{Z}\},B=\{x|x\in A,\frac1x\in A\}$。证明：
1. 如果 $x\in B,y\in B$，则 $xy\in B$。
2. $B$ 中的每一个元素 $x=m+n\sqrt3$ 都满足 $m^2-3n^2=1$。

Proof.

1) 假设 $x=\alpha_1+\beta_1\sqrt3,y=\alpha_2+\beta_2\sqrt3$。则 $\frac1x=\frac{\alpha_1}{\alpha_1^2-3\beta_1^2}-\frac{\beta_1}{\alpha_1^2-3\beta_1^2}\sqrt3,\frac1y=\frac{\alpha_2}{\alpha_2^2-3\beta_2^2}-\frac{\beta_2}{\alpha_2^2-3\beta_2^2}\sqrt3$。所以有 $\alpha_1^2-3\beta_1^2|\alpha_1,\alpha_1^2-3\beta_1^2|\beta_1,\alpha_2^2-3\beta_2^2|\alpha_2,\alpha_2^2-3\beta_2^2|\beta_2$。

现在 $\frac1{xy}=\frac{\alpha_1\alpha_2+3\beta_1\beta_2}{(\alpha_1^2-3\beta_1^2)(\alpha_2^2-3\beta_2^2)}+\frac{\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1}{(\alpha_1^2-3\beta_1^2)(\alpha_2^2-3\beta_2^2)}\sqrt3$。代入上方的四个整除式即得到 $\frac1{xy}\in A$。
2) $\frac1x=\frac m{m^2-3n^2}-\frac n{m^2-3n^2}\sqrt3$。假设 $\frac1x=p+q\sqrt3$，其中 $p=\frac m{m^2-3n^2},q=-\frac n{m^2-3n^2}$。易见 $p,q\in\mathbb{Z}$。
   
   我们取一组 $s,t,d\in\mathbb{Z}$ 满足 $sm+tn=\gcd(m,n)=d$。此时有 $\frac{sm+tn}{m^2-3n^2}=sp-tq\in\mathbb{Z}$，因此 $m^2-3n^2|\gcd(m,n)$。

现在假设 $m'=\frac m{\gcd(m,n)},n'=\frac n{\gcd(m,n)}$。于是 $d^2(m'^2-3n'^2)|d$，亦即 $d(m'^2-3n'^2)|1$。这说明 $d=1$ 和 $|m'^2-3n^2|=1$，也就是说 $|m^2-3n^2|=1$。

取 $\bmod 3$ 下的同余系可知 $m^2-3n^2=-1$ 的情况并不存在，于是 $m^2-3n^2=1$。

Q.E.D.

## 实战

### Problem 9.

在钝角 $\triangle ABC$ 中，过 $A$ 做 $BC$ 的垂线，交直线 $BC$ 于 $D$。现在 $3AD=10BC$，并且 $AB,BC,AC$ 为互素的正整数。求 $BC$ 的一个不为 $6$ 的值。

Solution. 假设 $\angle ABC>90^\circ$，$AB,AC,BC$ 可以是有理数，并且 $AD$ 为定值。

* Solution 1 (官方)

假设 $AD=1$。建系，令 $D(0,0),A(0,1)$，则根据勾股数组的通式 $(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)$ 我们可以设 $B(\frac t2-\frac1{2t},0),C(\frac s2-\frac1{2s},0)$（$s>t$）。题目给的解相当于 $(s,t)=(\frac52,2)$。

根据题意 $BC=\frac3{10}$，所以 $(s-\frac1s)-(t-\frac1t)=\frac35$。这是一个关于 $t$ 的二次方程，解出来
$$
t=\frac{5s^2+\sqrt{25s^4-30s^3+59s^2+30s+25}-3s-5}{10s}\tag{1}
$$
把 $t$ 当成关于 $s$ 的函数，计算得通过 $s=\frac52$ 时该曲线的斜率为 $\frac{116}{125}$。此时通过这条切线找到另一个这条曲线上的有理点（联立方程）$(-\frac{200}{261},-\frac{232}{225})$。

求出通过 $(\frac52,2)(-\frac{200}{261},-\frac{232}{225})$ 的直线和 $(1)$ 的交点，得到 $(\frac{76958}{225401},\frac{157979}{549010})$。此时 $t-\frac1t=-\frac{276454615659}{86732050790}$。将分母乘以 $\frac35$ 即得答案 $\mathbf{52039230474}$。

* Solution 2 (本人)

假设 $AD=10$。题目相当于找到有理数 $x$ 满足 $(x^2+100)$ 和 $((x+3)^2+100)$ 均为有理数的平方。那么 $(x^2+100)((x+3)^2+100)$ 也应该是平方数。

考虑去掉三次项。注意到当 $x=\frac12t-\frac32$ 时 $16(x^2+100)((x+3)^2+100)=t^4+782t^2+167281$。

设该式 $=q^2$。我们有 $(tq)^2=(t^2)^3+782(t^2)^2+167281t^2$。这是一个关于 $t^2$ 和 $tq$ 的椭圆曲线。

题目给的解相当于 $(t^2,tq)=(324,13050)$。在该椭圆曲线上做和 Solution 1 同样的操作得到 $(\frac{250435000422}{8673205079}^2, -\frac{23183177899453093546865230086993150}{652437397009995190883342708039})$。此时 $t=\frac{250435000422}{8673205079}$，对应的 $x=\frac{224415385185}{17346410158}$。分母乘上 $3$ 得到答案 $\mathbf{52039230474}$。