刘谦 2024 春晚魔术原理证明

## 刘谦 2024 春晚魔术原理证明

### 魔术内容

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### 程序证明

根据魔术内容可以写出以下 $\textit{C++}$ 程序，运行程序，如果按照正确格式输入且电脑运行处于正常状态，那么输出的最后一行一定是 `魔术成功！`。

```cpp
#include <bits/stdc++.h>
#include <conio.h>
using namespace std;

class MagicTrick {
public:
	MagicTrick (string pokers) {
		if (pokers.size() != 4) {
			cout << "输入格式错误！" << endl;
			exit(0);
		}
		this->pokers = pokers;
	}
	void run(void);
	void print(string, bool);
private:
	string pokers, top;
	void tearInHalf(void);
	void nameOperation(void);
	void middleAndAway(void);
	void middle(void);
	void throwAway(void);
	void behind(void);
	void behindAndThrow(void);
	string input(string);
	void line(void);
};

int main() {
	string pokers;
	cout << "请输入四张初始扑克牌：";
	cin >> pokers;
	MagicTrick magicTrick(pokers);
	magicTrick.run();
	return 0;
}

void MagicTrick::run () {
	tearInHalf();
	nameOperation();
	middleAndAway();
	middle();
	throwAway();
	behind();
	behindAndThrow();
}

void MagicTrick::print (string message = "", bool top = false) {
	cout << message;
	if (top) {
		cout << this->top << endl;
	} else {
		cout << pokers << endl;
	}
	getch();
}

string MagicTrick::input (string message = "") {
	cout << message;
	string res;
	cin >> res;
	return res;
}

void MagicTrick::line () {
	cout << "--------------------------------" << endl;
}

void MagicTrick::tearInHalf () {
	line();
	pokers = pokers + pokers;
	print("将扑克牌撕成两半，并叠在一起得到：");
}

void MagicTrick::nameOperation () {
	line();
	string name = input("请输入您的姓名：");
	int nameLength = (int)(name.size()) >> 1;
	while (nameLength--) {
		pokers = pokers.substr(1) + pokers[0];
	}
	print("将牌堆顶数量为“名字字数”的牌移至牌堆底可得：");
}

void MagicTrick::middleAndAway () {
	line();
	pokers = pokers.substr(3, 3) + pokers.substr(0, 3) + pokers.substr(6, 2);
	print("将前三张牌放在牌堆中间得：");
	top = pokers[0];
	pokers.erase(0, 1);
	print("取出牌堆顶的牌，放置在一旁得：");
}

void MagicTrick::middle () {
	line();
	int places = input("请输入您是南方人还是北方人（南方人：1，北方人：2，不确定：3）：")[0] - '0';
	pokers = pokers.substr(places, 2) + pokers.substr(0, places) + pokers.substr(places + 2);
	print("取出牌堆顶的若干张牌插入牌堆中间得：");
}

void MagicTrick::throwAway () {
	line();
	int sex = input("请输入您的性别（男：1，女：2）：")[0] - '0';
	pokers.erase(0, sex);
	print("男生扔掉牌堆顶1张，女生扔掉牌堆顶2张得：");
}

void MagicTrick::behind () {
	line();
	string words[] = {"见", "证", "奇", "迹", "的", "时", "刻"};
	cout << "“见证奇迹的时刻”，每说一个字就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底得：" << endl;
	getch();
	for (int i = 0; i < 7; i++){
		pokers = pokers.substr(1) + pokers[0];
		print(words[i] + "：");
	}
	print("最终的结果：");
}

void MagicTrick::behindAndThrow () {
	line();
	cout << "从牌堆顶开始，每次先将堆顶的一张牌放在牌堆底，再扔掉牌堆顶的一张牌，重复以上操作直到只剩一张牌：" << endl;
	getch();
	do {
		pokers = pokers.substr(1) + pokers[0];
		print("先将堆顶的一张牌放在牌堆底：");
		pokers.erase(0, 1);
		print("扔掉牌堆顶的一张牌：");
	} while (pokers.size() > 1);
	print("刚刚放置在一旁的扑克牌为：", true);
	print("现在剩下的一张扑克牌为：");
	if (top == pokers) {
		cout << "魔术成功！" << endl;
	} else {
		cout << "魔术失败！" << endl;
	}
}
```

### 数学证明

设这副牌为 `abcd`，取出来的牌为 $K$。

0. 初始时为 `abcd`；

1. 撕开后重叠可得 `abcdabcd`；

2. 将多少张牌堆顶上的牌放到牌堆底本质上不会改变牌之间的**相对顺序**，故仍设为 `abcdabcd`；

3. 可能会出现以下几种情况：`dabcabcd` 或 `daabcbcd` 或 `dababccd` 或 `dabcabcd`，可以发现，将前三张牌插入中间，无论如何插入，牌堆顶的牌和牌堆底的牌都是一样的，故取出的牌 $K$ 为 `d`，牌堆底的牌亦为 `d`；

4. 第 $3$ 步由于牌堆顶和牌堆底都一样，所以第 $4$ 步可以保证无论取 $1$ 还是 $2$ 还是 $3$ 张牌，都不会取到 $K$，因此 $K$ 仍在牌堆底，此时牌堆中的牌为 `xxxxxxd`；

5. 第 $4$ 步操作后，由于 $K$ 仍在牌堆底，所以无论仍 $1$ 张牌还是仍 $2$ 张牌都不会使 $K$ 被扔掉，故牌堆中仍有 $K$，牌堆中男生的牌为 `xxxxxd`，女生手中的牌为 `xxxxd`；

6. `见证奇迹的时刻` 共 $7$ 个字，故男生的牌会变为 `xxxxdx`，女孩子手中的牌会变为 `xxdxx`；

7. 观察步骤 $6$ 中男女生手中的牌，可以发现 $K$ 无论是在男生手中还是在女生的手中，都在从左往右数的第奇数个（男：从左往右第 $5$ 个是 $K$，女：从左往右第 $3$ 个是 $K$），接下来模拟这个过程：

- 首先将堆顶的一张牌放在牌堆底（男：`xxxdxx`，女：`xdxxx`），然后扔掉一张牌（男：`xxdxx`，女：`dxxx`）；

- 再将堆顶的一张牌放在牌堆底（男：`xdxxx`，女：`xxxd`），扔掉一张牌（男：`dxxx`，女：`xxd`），这时候会发现女孩子的 $K$ 被完美地避开了“扔掉”这个残忍的环节；

- 放牌底（男：`xxxd`，女：`xdx`），然后扔掉（男：`xxd`，女：`dx`），会发现男孩子的 $K$ 也避开了“扔掉”这个残忍的环节；

- 放牌底（男：`xdx`，女：`xd`），然后扔掉（男：`dx`，女：`d`），女孩子手中的 $K$ 再次成功的避开了“扔掉”这个残忍的环节，同时她手中只有一张牌了，就是 $K$，刚刚取出来的那张牌；

- 由于男生的牌还有 $2$ 张，所以继续，放牌底（男：`xd`），然后扔掉（男：`d`），会发现男生的 $K$ 也幸存下来了。

观察发现，女生初始的 `xxdxx` 就是由男生的 `xxxxdx` 变来的，所以虽然性别不同，手中的扑克牌数不同，但是原理是一样的。魔术设计者先撕开扑克牌，使牌变为 `abcdabcd` 型，然后通过将前三张扑克牌插入到中间（即，将 `abc` 插入到 `dabcd` 的两个 `d` 之间），使观众手中的卡牌变为 `dxxxxxxd` 型，然后将 $K$ 设为开头的 `d`，并将其删掉，变为 `xxxxxxd`，然后将 $1\sim 3$ 张扑克牌插入中间，卡牌仍为 `xxxxxxd` 型，接着男生的牌变为 `xxxxxd`，女生的变为 `xxxxd`，最后两步可以抽象为约瑟夫问题，会发现 $6$ 个人，数 $2$ 个数淘汰一个人的情况下，第 $5$ 个人正好可以“幸存”（即最后一个淘汰），而 $5$ 个人，数 $2$ 个数淘汰一个人的情况下，第 $3$ 个人正好可以“幸存”（即最后一个淘汰），故魔术设计者利用 `见证奇迹的时刻` 这 $7$ 个字，将男生的牌变为 `xxxxdx`，女生的牌变为 `xxdxx`，然后使男生、女生手中最后剩下的牌皆为 `d`，由于放置在一边的 $K$ 也是 `d`，所以这两张牌都可以找到它们的另一半。

综上，证毕。

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