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一阶微分方程
最后更新于 2025-06-15 16:28:18
作者
zjy2008
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变量名可能比较奇怪？大写的是函数，小写的是常数。 假设有 $$F'=\dfrac{P}{G'(F)}+Q$$ 记 $H$ 为 $G$ 的反函数。那么 $$G'(F)F'=QG'(F)+P$$ $$G(F)=C+\int P$$ $$F=H(C+\int P)$$ 带入回原式，解出 $C$ 即可。 如果 $H$ 的形式不是很好的话，还是只能用一般的办法： $$F'=G(F)$$ 注意，这里的 $G$ 本质上是二元函数 $G(x,F)$，求导是对第二维求偏导。类比普通牛迭： $$F'\equiv G(F_0)+G'(F_0)(F-F_0)$$ $$F'-G'(F_0)F\equiv G(F_0)-G'(F_0)F_0$$ 一阶线性微分方程： $$F'+PF=Q$$ 配方一下： $$\exp(\int P)F'+PF\exp(\int P)=(F\exp(\int P))'=Q\exp(\int P)$$ $$F=\exp(-\int P)(c+\int Q\exp(\int P))$$
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