问题重述

计算：

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$$

欧拉：这不一眼 $\frac{\pi^2}{6}$？

那么我们该如何证明呢？

证明

既然式子里出现了 $\pi$ 那么我们可以从三角函数出发，就取正弦函数 $\sin$ 吧，我们已经知道，正弦函数的泰勒展开是这个样子的：

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

这是一个多项式，既然是一个多项式，那么必然有一个因式分解的形式，也就是说，我们的正弦函数还有一个无穷乘积的形式，问题是，这个积是什么呢？

首先，我们可以推导出一个简单的形式，我们求函数的根，其实就是求曲线的零点，我们可以根据这些零点，反推出方程本身。

好了，因为正弦函数的图像长这样：

我们可以看到，$\pi$ 的倍数全部都是零点，那么因式分解就是这样：

$$\cdots(x+2\pi)(x+\pi)(x)(x-\pi)(x-2\pi)\cdots$$

但是，我只能很可惜的告诉你，这个式子毫无意义，因为代入一个非 $n\pi$ 的值都会让式子发散，那么究竟能不能找到一个可用的因式分解呢？

我们先对这个基础式子进行简化，套用平方差公式，化简成这个样子：

$$x(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)(x^2-3^2\pi^2)\cdots$$

从形式上来看，所有自然数平方的倒数和已经出现了，这也是为什么要从这里入手的原因。

要让它收敛到 $\sin(x)$ 我们需要乘上一个系数 $C$，它会让等号成立。

$$\sin x=Cx(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)(x^2-3^2\pi^2)\cdots$$

那么我们可以求出系数 $C$ 了，两边同时除以 $x$，再取极限值。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0}Cx(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)(x^2-3^2\pi^2)\cdots$$

现在左边变成了非常有名的极限值，套用洛必达法则：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sin x}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sin x}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} x}=\lim_{x \to 0}\cos x$$

当 $x$ 趋于 $0$ 时，$\cos x=1$，所以原始等于 $1$。

右边 $x$ 也取 $0$，此时变成了这样：

$$1=C(-\pi^2)(-2^2\pi^2)(-3^3\pi^2)\cdots$$

$$C=\frac{1}{(-\pi^2)(-2^2\pi^2)(-3^3\pi^2)\cdots}$$

现在把 $$C$$ 代入原式，原式就变成了这样：

$$\sin x=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2})(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2})\cdots$$

现在我们就求出了 $\sin x$ 的因式分解，为了万无一失（我计算时因为把分子整成 $2$ 找了一个上午的错 QAQ），我们验算一下。

使用无穷个因式计算 $\sin 1$，答案是 $0.841471$，然而使用真正的正弦函数计算则是 $0.841471134\cdots$，可见我们并没有错。

现在我们展开这个无穷乘积，观察它的二次项系数，然而，我们的乘积太复杂了，所以我们先设计一个简单的模板：

$$(1-ax^2)(1-bx^2)(1-cx^2)\cdots$$

我们一个括号一个括号的拆解，变成：

$$x(1-(a+b+c)x^2-(ab-ac-bc)x^4-abcx^6)\cdots$$

可见二次项是这样：

$$a+b+c+d+\cdots$$

对于我们的无穷积形式，它的二次项系数就是这样：

$$\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\cdots$$

别忘了我们还有无穷和形式，就是泰勒展开，既然都是正弦函数，那么二次项系数必然相等，所以得到以下等式（两边同时除以 $x$）：

$$\frac{1}{3!} = \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\cdots$$

现在两边同时乘以 $x$：

$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots$$

于是乎，我们就证明了巴塞尔问题。