【高等数学学习笔记】反常积分

# 无穷限的反常积分

对于一个定积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm dx$，如果 $a \to +\infty$ 或 $b \to - \infty$，那么这个积分就超出了正常定积分的定义，我们将这个积分称为**反常积分**。按照定义来说，反常积分其实就是 $\displaystyle \lim \limits_{b \to + \infty} \int_a^b f(x) \mathrm dx$ 或 $\displaystyle \lim \limits_{b \to - \infty} \int_a^b f(x) \mathrm dx$，对于这两种情况，我们分别记作 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} f(x) \mathrm dx$ 和 $\displaystyle \int_{- \infty}^b f(x) \mathrm dx$。我们可以用牛莱公式去求这个积分，设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，那么例如第一个积分 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} f(x) \mathrm dx$，有 $I = F(+\infty) - F(a) = \lim \limits_{x \to +\infty} F(x) - F(a)$。所以说其实求反常积分跟求普通定积分没什么区别，只不过是在求值时普通的定积分时代入一个具体值，而求反常积分是求一个极限。

但是在这里会有一个问题：有些极限是不存在的，也就是极限为无穷或求不出极限，这时整个反常积分就算不出一个确切的值，此时我们称原反常积分**发散**；相对地，如果整个反常积分能算出一个确定的值，那么我们称原反常积分**收敛**。当然判断收敛与发散还有很多方法，后续会一一讲解。

最后有一个重要的提醒：$(- \infty, + \infty)$ 并不是对称区间，不适用偶倍奇零。但如果已知原反常积分收敛，那么偶倍奇零还是适用的。所以当我们确定这个反常积分收敛时才可以使用偶倍奇零。

### 例 1

求反常积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm dx}{1 + x^2}$。

**解：** 这里可以直接使用定义求解。
$$
\begin{align*}
I
& = \arctan x \Bigg|_{- \infty}^{+ \infty} \\
& = \lim \limits_{x \to + \infty} \arctan x - \lim \limits_{x \to - \infty} \arctan x \\
& = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi.
\end{align*}
$$

# 无界函数的反常积分

反常积分还有一种情况，就是积分的上下限处 $x$ 的取值无定义，也就是 $f(x)$ 在任一领域都无界，那么称这种积分叫做无界函数的反常积分，又叫做**瑕积分**。例如 $\displaystyle \int_0^1 \ln x \mathrm dx$，容易发现 $x = 0$ 处无定义，所以这是一个瑕积分。

### 例 2

判断反常积分 $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{\mathrm dx}{x^2}$ 的敛散性。

**解：** 最直接的办法就是看看能不能求出一个具体的值，如果能就收敛，否则就发散。
$$
\begin{align*}
I
& = \int_{-1}^0 \frac{\mathrm dx}{x^2} + \int_0^1 \frac{\mathrm dx}{x^2} \\
& = -\frac{1}{x} \Bigg|_{-1}^0 + (-\frac{1}{x} \Bigg|_0^1) \\
\because \lim \limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = - \infty, \\
\therefore 原反常积分发散.
\end{align*}
$$

# 反常积分审敛法

## 直接计算法

确切来说这其实是一个通法，只是有时一些反常积分可能需要高数下或是更复杂的知识去计算，但是只要你足够强，这确实是首选的方法。

### 例 3

判断反常积分 $\displaystyle \int_0^{+ \infty} x \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx$ 的敛散性。

**解：** 我们直接计算即可。
$$
\begin{align*}
I
& = \frac{1}{2} \int_0^{+ \infty} \mathrm e^{-x^2} \mathrm d(x^2) \\
& = -\frac{1}{2} \mathrm e^{-x^2} \Bigg|_0^{+ \infty} \\
& = -\frac{1}{2} (\lim \limits_{x \to + \infty} e^{-x^2} - 1) \\
& = -\frac{1}{2} (0 - 1) = \frac{1}{2}.
\end{align*}
$$
故原反常积分收敛。

### 例 4

判断反常积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x}{x} \mathrm dx$ 的敛散性。

**解：** 也是直接计算。

注意到 $\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = +\infty$，所以 $x = 0$ 为原反常积分的瑕点。
$$
\begin{align*}
I
& = \int_0^1 \ln x \mathrm d \ln x \\
& = \frac{1}{2} \ln^2 x \Bigg|_{0^+}^1 \\
& = \frac{1}{2} (\ln^2 1 - \lim \limits_{x \to 0^+} \ln^2 x) \\
& = -\infty.
\end{align*}
$$
故原反常积分发散。

## 四大重要结论

**重要结论 1**：若 $p >1$，则反常积分 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} \frac{\mathrm dx}{(x - a)^p}(a > 0)$ 收敛；否则发散。

在直观上很好理解，其实反常积分是否收敛就是一种感觉，如果说这个函数越来越逼近一条线，例如反比例函数，那么应该就是收敛的；如果他一飞冲天，那么随着 $x \to +\infty$，面积越来越大，最否肯定发散。

**重要结论 2：**若 $p < 1$，则反常积分 $\displaystyle \int_a^b \frac{\mathrm dx}{(x - a)^p}$ 和 $\displaystyle \int_a^b \frac{\mathrm dx}{(b - x)^p}$ 收敛；否则发散。

**重要结论 3**：当 $a > 1$ 时，讨论反常积分 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} \frac{\mathrm dx}{x^\alpha \ln^\beta x}$ 的敛散性：

当 $\alpha > 1$ 时，原反常积分收敛。

当 $\alpha < 1$ 时，原反常积分发散。

当 $\alpha = 1$ 时，若 $\beta > 1$，则原反常积分收敛；若 $\beta \le 1$，则原反常积分发散。

**重要结论 4**：当 $\beta > 0$ 时，若 $\alpha < 1$，则反常积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln^\beta x}{x^\alpha} \mathrm dx$ 收敛；否则发散。

## 比较审敛法

对于无穷区间上的反常积分 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} f(x) \mathrm dx$，若始终有 $0 \le f(x) \le g(x)$，则有如下结论：

- 若 $\displaystyle \int_a^{ + \infty} g(x) \mathrm dx$ 收敛，则 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} f(x) \mathrm dx$ 收敛。
- 若 $\displaystyle \int_a^{ + \infty} f(x) \mathrm dx$ 发散，则 $\displaystyle \int_a^{+ \infty} g(x) \mathrm dx$ 发散。

瑕积分也有类似结论。

### 例 5

判断反常积分 $\displaystyle \int_1^{+ \infty} \frac{|\sin x|}{\sqrt{1 + x^3}} \mathrm dx$ 的敛散性。

**解：** 使用比较判敛法。我们的思路就是把整个函数一直放大到一个收敛的函数以证明原反常积分收敛或一直缩小到一个发散的函数以证明原反常积分发散。
$$
\begin{align*}
0 \le \frac{|\sin x|}{\sqrt{1 + x^3}} \le \frac{1}{\sqrt{1 + x^3}} \le \frac{1}{x^\frac{3}{2}}.
\end{align*}
$$
因为反常积分 $\displaystyle \int_1^{+ \infty} \frac{\mathrm dx}{x^\frac{3}{2}}$ 收敛，所以原反常积分收敛。

比较审敛法还有一个极限定义：若 $\displaystyle \lim \limits_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0$，即 $f(x)$ 与 $g(x)$ 同阶，那么关于 $f(x)$ 和关于 $g(x)$ 的反常积分敛散性相同。也就是说当 $f(x) \sim l \cdot g(x)$ 时，关于 $g(x)$ 的反常积分与关于 $f(x)$ 的反常积分敛散性相同。这里我们不妨令 $l = 1$，也就是说两个等价的函数反常积分敛散性相同。根据这个结论，做题时我们可以将原函数转化为一个等价的函数并判断等价函数的反常积分敛散性，即可得出原反常积分的敛散性。

### 例 6

判断反常积分 $\displaystyle \int_2^{+ \infty} \frac{\mathrm dx}{2x + \sqrt[3]{x^2 + 1} + 5}$ 的敛散性。

**解：** 我们可以将原函数等价到一个新函数，并判断新函数的敛散性，从而得出原反常积分的敛散性。
$$
\begin{align*}
\frac{1}{2x + \sqrt[3]{x^2 + 1} + 5} \sim \frac{1}{2x}.
\end{align*}
$$
因为 $\displaystyle \int_2^{+ \infty} \frac{\mathrm dx}{2x}$ 发散，所以原反常积分发散。

**Tips**：如果要写大题步骤，那么不能直接写出等价代换，而应利用等价的定义，将两个函数的比值取极限来验证。

## 伽马函数

先给伽马函数的定义：
$$
\begin{align*}
\Gamma(s) = \int_0^{+ \infty} \mathrm e^{-x} x^{s - 1} \mathrm dx (s > 0).
\end{align*}
$$

准确地来说，伽马函数是阶乘的解析延拓，也就是广义的阶乘。对于任意的 $s \in \R$，都有
$$
\Gamma(s) = (s - 1) \cdot \Gamma(s - 1).
$$
这是一个递归函数，我们不妨写一下它的一般形式，即
$$
\begin{align*}
\Gamma(n)
& = (n - 1) \cdot \Gamma(n - 1) \\
& = (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \Gamma(n - 2) \\
& = (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot  (n - 3) \cdot \Gamma(n - 3) \\
& = ... \\
& = (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot ... \cdot 1 \\
& = (n - 1)!.
\end{align*}
$$
容易证明：对于任意 $s > 0$，原反常积分是收敛的。还有几个必背特殊值：$\Gamma(1) = 1, \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt \pi$。接下来我们来证明一下伽马函数的性质：$\Gamma(s) = s \cdot \Gamma(s - 1)$。

**证明：** 注意到 $\Gamma(s)$ 其实是一个反常积分，所以可以使用分部积分法。
$$
\begin{align*}
\Gamma(s) 
& = \int_0^{+ \infty} \mathrm e^{-x} x^{s - 1} \mathrm dx \\
& = -\int_0^{+ \infty} x^{s - 1} \mathrm d (\mathrm e^{-x}) \\
& = -\mathrm e^{-x} x^{s - 1} \Bigg|_0^{+ \infty} + \int_0^{+ \infty} \mathrm e^{-x} \mathrm d(x^{s - 1}) \\
& = - \lim \limits_{x \to + \infty} \mathrm e^{-x} x^{s - 1} + 0 + (s - 1) \int_0^{+ \infty} \mathrm e^{-x} x^{s - 2} \mathrm dx \\
& = (s - 1) \int_0^{+ \infty} \mathrm e^{-x} x^{s - 2} \mathrm dx \\
& = (s - 1) \cdot \Gamma(s - 1).
\end{align*}
$$
接下来将伽马函数的应用。

首先，我们要学会如何识别伽马函数。那么什么样的函数是伽马函数呢？

1. 积分区间为 $[0, + \infty)$。
2. 积分表达式中幂函数的底数、指数函数的指数的相反数、$\mathrm d$ 后面的表达式要保持一致，即形如 $\displaystyle \int_0^{+ \infty} [f(x)]^k \mathrm e^{-f(x)} \mathrm d f(x)$。

其次，对于一个函数 $f(x) = x^\alpha \mathrm e^{-x}$，我们要知道 $\displaystyle \int_0^{+ \infty} f(x) \mathrm dx$ 到底等于伽马几，即构造 $\displaystyle \Gamma(s) = \int_0^{+ \infty} f(x) \mathrm dx$。牢记一句口诀：**被积函数是几次方，就是伽马几加一**，也就是 $s = \alpha + 1$。

### 例 7

求反常积分 $\displaystyle \int_0^{+ \infty} x^3 \mathrm e^{-2x} \mathrm dx$。

**解：** 分部积分法肯定可以做，但是整个函数显然符合伽马函数的特点，我们可以凑出一个伽马函数。三个部分中我们按照指数函数凑，因为幂函数和微分中的 $x$ 乘了几，整个积分外面可以除以几达到平衡，而指数函数中的指数乘了几想要在保持平衡就很困难了。所以凑伽马函数时**紧紧抓住指数函数**上面的部分，让其他两个部分往指数函数靠，强行凑出相同的部分即可。
$$
\begin{align*}
I
& = \frac{1}{16} \int_0^{+ \infty} (2x)^3 \mathrm e^{-2x} \mathrm d (2x) \\
& = \frac{1}{16} \Gamma(3 + 1) \\
& = \frac{1}{16} \cdot 3! = \frac{3}{8}.
\end{align*}
$$

### 例 8

求反常积分 $\displaystyle \int_0^{+ \infty} x^3 \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx$。

**解：** 还是使用伽马函数，凑出一个伽马函数即可。
$$
\begin{align*}
I
& = \frac{1}{2} \int_0^{+ \infty} x^2 \mathrm e^{-x^2} \mathrm d (x^2) \\
& = \frac{1}{2} \Gamma(2) \\
& = \frac{1}{2} \cdot 1! = \frac{1}{2}.
\end{align*}
$$
注意这里 $x^2$ 是一个整体，所以整个幂函数最后配完应该是 $(x^2)^1$，所以结果是 $\Gamma(2)$。

### 例 9

求反常积分 $\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} |x| \cdot \frac{1}{2 \sigma} \mathrm e^{-\frac{|x|}{\sigma}} \mathrm dx$。

**解：** 由于原反常积分收敛，所以我们可以先用偶倍奇零去掉绝对值，然后凑伽马函数。
$$
\begin{align*}
I
& = 2\int_0^{+ \infty} x \cdot \frac{1}{2 \sigma} \mathrm e^{- \frac{x}{\sigma}} \mathrm dx \\
& = 2 \cdot \frac{1}{2 \sigma} \cdot \sigma^2 \int_0^{+ \infty} \frac{x}{\sigma} \mathrm e^{- \frac{x}{\sigma}} \mathrm d (\frac{x}{\sigma}) \\
& = \sigma \cdot \Gamma(2) = \sigma.
\end{align*}
$$

### 例 10

求反常积分 $\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} x^2 \cdot \frac{1}{2 \sigma} \mathrm e^{-\frac{|x|}{\sigma}} \mathrm dx$。

**解：** 同样，先去绝对值，再凑伽马函数。
$$
\begin{align*}
I
& = 2 \int_0^{+ \infty} x^2 \cdot \frac{1}{2 \sigma} \mathrm e^{-\frac{x}{\sigma}} \mathrm dx \\
& = 2 \cdot \frac{1}{2 \sigma} \cdot \sigma^3 \int_0^{+ \infty} (\frac{x}{\sigma})^2 \mathrm e^{-\frac{x}{\sigma}} \mathrm d (\frac{x}{\sigma}) \\
& = \sigma^2 \cdot \Gamma(3) \\
& = \sigma^2 \cdot 2! = 2 \sigma^2.
\end{align*}
$$
伽马函数还有另一个写法：
$$
\Gamma(s) = 2 \int_0^{+ \infty} x^{2s - 1} \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx.
$$
具体证明的话还是根据定义式强凑，这里就不展示了。但是运用这个定义式可以求出一些很重要的反常积分值。

### 例 11

求反常积分 $\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx$。

**解：** 这个函数对于学过概率论的同学来说应该是家常便饭，就是正态分布曲线。这里我们可以使用伽马函数很快的求出他的值。
$$
\begin{align*}
I
& = 2 \int_0^{+ \infty} x^0 \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx \\
& = \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt \pi.
\end{align*}
$$
这个积分值也可以使用二重积分解决，在学习二元函数与重积分以及直角坐标与极坐标变换以后可以完美的求出这个积分值，但是步骤远不如使用伽马函数便捷，可见伽马函数的用途广泛。