2021.6.6 高等数学 - 洛谷保存站

#### Written by @Areka6219 @PrefixAMS

### 对 $2021/6/6$ 高等数学的总结

1. 代数基本定理 ：对于方程 $\Sigma _ {i = 0} ^ n a _ i * x^i = 0$ 一定有`n` 个根。

2. 数列极限：对于数列 $\{a_1,a_2, a_3, \cdots ,a_n\}$ 若对于 $\forall \varepsilon > 0$，数列中 $\exist N > 0$ 使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - A| < \varepsilon$，则我们认为数列 $\{a_n\}$ 存在极限， 且称 `A` 为数列 $\{a_n\}$ 的极限。

3. 函数连续性：我们设函数 $f(x)$ 的定义域为 $S$，若对于 $\forall x,x_0 \in S, \ \lim \limits _ {x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ 则我们称函数 $f(x)$ 连续。

4. 去心邻域：对于 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$，则在区间形式表示下 $x \in (x_0 - \delta,x_0) \cup (x_0, x_0+\delta)$ 注意均为开区间。

5. 函数极限：

&ensp; 若对于 $x_0 \in S$ 且 $x_0$ 为有限值，若$f(x)$ 在$x_0$ 的某一 $\mathring{U}$ 内有定义，且对于 $\forall \varepsilon > 0$ 总有 $N \in \mathring{U}(x_0, \delta), \zeta > 0$ 当 $0 < |x - N| < \zeta$ 时，不等式 $|f(x) - A| < \varepsilon$ 恒成立，这时我们就称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处存在极限，且极限为 `A`。

6. 若函数、数列无上界或下界，则称它们发散。

7. 等价无穷小： $\lim \limits _ {x \to 0} \begin{cases} sin \ x \thicksim x \\ tan \ x \thicksim x \\1 - cos \ x \thicksim \frac {1}{2} x ^ 2 \\ ln(x + 1) \thicksim x \\ e ^ x - 1 \thicksim x \\ (1 + x) ^ r - 1 \thicksim r \cdot x \end{cases}$

8. 导数：

&ensp; $\huge \lim \limits _ {\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x}$ 等价于 $\huge \mathrm{\frac {df} {dx}}$

9. 导数运算法则：

&ensp; $(f + g)' = f' + g' \\ (f \  \ast \ g)' = fg' + f'g \\ (\frac {f}{g})' = \frac {f'g - fg'} {g ^ 2} \\ f'(g(x)) = f'(g(x)) \  \ast \ g'(x) = \mathrm{\frac {dfg}{dg} * \frac {dg}{dx}}$

10. 几个初等导（函）数：

&ensp; 10.1. $(x ^ a)' = a * x ^ {a - 1}$

10.2. $(a^x)' = a ^ x * ln \ a$ 当 $a = e$ 时，我们有 $(e^x)' = e^x$

10.3. $(-e ^ {-x})' = e ^ {-x}$

10.4.  $sin ' \ x = cos \ x, \ cos ' \ x = sin \ x$

10.5. $ln' x = \frac {1}{x}$

10.6. $arc' \ sin \ x = \frac{1}{\sqrt {1 - x ^ 2}}$

11. 拉格朗日中值定理：

&ensp; 对于函数 $f(x)$，若它在 $(a, b)$ 可导，$[a, b]$ 连续， 则**一定** $\exist \ \xi \in (a, b)$ 使得 $\frac {f(b) - f(a)} {b - a} = f'(\xi)$

12. 洛必达：

&ensp; 若我们得出类似于 $\frac {0} {0} / \frac {\infty}{0} / {\frac{\infty}{\infty}}$ 的式子且 $f, g$ 连续可导， 则洛必达适用。
    $$
    \lim \limits _ {x \to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}{\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}} \\ \because x \to x_0, f(x_0) \to 0/\infty,g(x_0) \to 0/\infty \\ \therefore \lim \limits _ {x \to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {f'(x)} {g'(x)}
    $$

13. 泰勒炸开：

设函数 $f(x)$ 在 `n` 阶内可导，在 `n + 1` 阶内连续，构造一个 $P(x)$ 使得
    $$
    P(x) = \sum _ {i = 0} ^ n \frac {(x - x_0) ^ i * f ^ {(i)} (x_0)}{i!}
    $$
    若给定 $\lim \limits _ {x \to x_0}$ 则对 `P` 进行求导，在 $x_0$ 处保证 $f(x)$ 和 $P(x)$ 的 `n` 阶导都相等。

就像泰勒所说的：“**仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……**”

首先将 `P`展开
    $$
    P(x) = f(x_0) + \frac {(x - x_0) * f'(x_0)}{1!} + \dots + \frac {(x - x_0) ^ n * f ^ {(n)} (x_0)}{n!}
    $$
    接着求得 $P'$

$$
    P'(x) = 0 + f'(x_0) + \frac {2 * (x - x_0) * f''(x_0)}{2} + \dots + \frac {n(x - x_0) ^ {n - 1} * f ^ {(n)} (x_0)}{n!}
    $$
    接下来接着对 `P` 进行 `n` 阶求导，则 $0$ 会越来越多， $P(x)$ 也越来越逼近 $f(x)$。

若要衡量误差大小，令$f(x) - P(x) = R$，任取一点 $\beta > x_0$

有
    $$
    R = \frac {f ^ {(n + 1)} (\xi) * (\beta - x_0) ^ {n + 1}}{(n + 1!)}
    $$
    $\xi \in (x_0, \beta)$

14. 积分

&ensp; 对 $f(x)$ 积分表示统计 $f(x)$ 图像与 `x` 轴围成的面积。

+ 不定积分

+ $\int _ {-\infty} ^ {+\infty} f(x) \mathrm {dx}$ 通常将无穷符号省略掉，表示为 $\int f(x) \ \mathrm {dx}$

+ 若函数 $f'(x) = g(x)$，则 $\int g(x) \ \mathrm{dx} = f(x) + C$

+ 下面以 $\int e ^ {- x ^ 2} * x \ \mathrm{dx}$ 为例进行积分的**推倒**
        $$
        \int e ^ {- x ^ 2} * x \ \mathrm {dx} \\ = \frac{1}{2} \int e ^ {-x ^ 2} \  \mathrm {dx}  * \int (2x)   \\ = \frac{1}{2} \int e ^ {-x ^ 2} \  \mathrm {dx} \ * x ^ 2 \\ = -\frac {1}{2} e ^ {-x ^ 2} + C
        $$

+ 另有，设 $u(x) = x ^ 2$

$$
          \because \mathrm {\frac {du}{dx}} = u' = 2x \\
          \therefore \mathrm {dx} = \frac {\mathrm{du}}{2x}
          $$
          将 $\mathrm{dx}$ 代入，得到
          $$
          \int e ^ {- x ^ 2} * x \ \mathrm {dx} \\ = \int e ^ {- x ^ 2} * x \ \frac {\mathrm{du}}{2x} \\ = \frac {1}{2} \int e ^ {- x ^ 2} * \mathrm {du} \\ = \frac{1}{2} \int e ^ {-u} * \mathrm{du}
          $$
          将 `u` 当做自变量，我们有：
          $$
          \frac{1}{2} \int e ^ {-u} * \mathrm{du} \\ = - \frac{1}{2} e ^ u + C \\ = -\frac {1}{2} e ^ {-x ^ 2} + C
          $$

- 定积分

- 对于函数 $f(x)$ 设 $F'(x) = f(x)$，有
    $$
    \int _a ^t f(x) \mathrm {dx} = F(t) - F(a)
    $$
    对两侧同时求导，右侧为
    $$
    F'(t) - F'(a)
    $$
    设 `a` 为常数，`t` 为自变量时，右侧为
    $$
    f(t)
    $$
    由于等式的性质，等式两侧同时求导，等式依然成立，则一定有
    $$
    \frac {\mathrm{d}}{dx} \int _a ^t f(x) \mathrm {dx} = f(t)
    $$
    证明
    $$
    \frac {\mathrm{d}}{dx} \int _a ^t f(x) \mathrm {dx}\\ = \lim \limits _ {\Delta t \to 0} \frac {\int _a ^ {t+ \Delta t}f(x) \mathrm {dx} - \int _a ^t f(x) \mathrm {dx} } {\Delta t} \\ = \lim \limits _ {\Delta t \to 0} \frac {\int _ t ^ {t+ \Delta t}f(x) \mathrm {dx} } {\Delta t}
    $$
    观察积分范围，由面积公式知
    $$
    \lim \limits _ {\Delta t \to 0} \frac {\int _ t ^ {t+ \Delta t}f(x) \mathrm {dx} } {\Delta t} \\ = f(x)
    $$

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