拉马努金的鬼畜公式证明
虽说上一篇还没有审核，但还是写下去吧。
公式是这个：
$$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{1\times3\times5}+\frac{1}{1\times3\times5\times7}+\cdots)+\begin{aligned} \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1+\cdots} } } }\end{aligned}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}$$
太长了，其中 $e$ 是 $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x$
我们把它分成两部分：
$$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{1\times3\times5}+\frac{1}{1\times3\times5\times7}+\cdots)$$
我们发现，他是一个无穷级数，分母是连续奇数的乘积，那么我们该如何求值呢？
直接计算肯定求不出来，我们套用生成函数法，把式子伪装成一个幂函数：
$$(\frac{x^1}{1}+\frac{x^3}{1\times3}+\frac{x^5}{1\times3\times5}+\frac{x^7}{1\times3\times5\times7}+\cdots)$$
求导：
$$(\frac{1}{1}+\frac{3x^2}{1\times3}+\frac{5x^4}{1\times3\times5}+\frac{7x^6}{1\times3\times5\times7}+\cdots)$$
约分+提取公因数（$x$）：
$$1+x(\frac{x^1}{1}+\frac{x^3}{1\times3}+\frac{x^5}{1\times3\times5}+\frac{x^7}{1\times3\times5\times7}+\cdots)$$
我们发现，居然包含原式！所以得出以下微分方程：
$${y}’ =xy+1$$
注意，$y$ 是一个函数。
开始解方程：
$$\begin{array}{c} {y}‘-xy=1\ {y}’-xy=0\ {y}'=xy\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =xy\ \frac{\mathrm{d}y}{y} = x \mathrm{d}x\ \int\frac{1}{y}\mathrm{d}y = \int x \mathrm{d}x\ \ln y=\frac{x^2}{2}\ y=e^{\frac{1}{2}x^2} \end{array}$$
第二步忽略了常数项，因为常数求导为 $0$。
但是我们好几次忽略了常数项，这个肯定有误差，我们添加常数项 $C(x)$，又求导，套用“左函乘右导，右函乘左导”+链式法则：
$${y}'=xC(x)e^{\frac{1}{2}x^2}+C(x)'e^{\frac{1}{2}x^2}$$
代入原微分方程：
$$xC(x)e^{\frac{1}{2}x^2}+C(x)'e^{\frac{1}{2}x^2}-xC(x)e^{\frac{1}{2}x^2}=1$$
抵消，求出 $C(x)$ 的导数，然后积分，求得 $C(x)$：
然后，$y$ 就等于这一坨：
$$y=e^{\frac{1}{2}x^2}\int e^{-\frac{1}{2}x^2}\mathrm{d}x$$
转化：
$$y=e^{\frac{1}{2}x^2}\int_{0}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$$
然后把 $x$ 换回去：
$$e^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{1} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$$
左半边就有了结果，$\sqrt{e}$ 已经有了，而左边呢？这不就是大名鼎鼎的高斯积分吗？就等于 $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$，诶，证明结束了！额，右边的连分数还没有整呢，总不至于等于 $0$ 吧？好吧，高斯积分的上限是无穷，下限是 $0$，我们的上限是 $1$。
所以我们要证明连分数等于：
$$\sqrt{\frac{\pi e}{2}}=e^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{1} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t+e^{\frac{1}{2}}\int_{1}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$$
接下来，我们就是要证明：
$$\begin{aligned} \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1+\cdots} } } }\end{aligned}=e^{\frac{1}{2}}\int_{1}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$$
我们把原式移项，然后用符号表示：
$$g=e^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{1} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$$
这个式子里面的几个 $1$，其实都是我们的 $x$，变回来：
$$g=e^{\frac{x}{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{x}{2}}\int_{0}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$$
然后，再求导（这是第几次了？）别怕，很简单，形如 $e^x$ 的导数就是他自身，积分式求导，不就是被积函数吗……
$$g’=x(e^{\frac{x}{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{x}{2}}\int_{0}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t)-1$$
又得到一个微分方程：
$$g’=gx-1$$
连续求导：
$$g’‘=g’+1g\g’‘’=g’‘+2g’\g’‘’‘=g’‘’+3g’'\\cdots$$
把倒数替换掉：
颜色部分可以替换：
$$ \begin{aligned} \cfrac{1}{x + \cfrac{1}{x + \cfrac{2}{x + \cfrac{3}{x+\cdots} } } } \end{aligned} $$ 现在，把两个部分加起来，原式得证。