解方程（？ 最后更新于 2025-05-01 20:32:38

发电写的这篇文章，仅此而已 文章分为n部分 1. 换元 2. 三角 ## 一、换元 $$\mathit{} x^4 +(x-4)^4 = 626$$ 先看一个东西，由二项式定理 $$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{k} b^{n-k}$$ 可得 $$(a+b)^n + (a-b)^n = \sum_{k=0}^{\frac{n}{2} } C_{n}^{2k} a^{2k} b^{n-2k}(n为偶数)$$ 这样就可以把奇次项给干掉 令$$y = \frac{x + (x - 4)}{2} = x-2$$ 所以$$ y -2 = x-4$$ 方程转化为$$ (y + 2)^4 + (y - 2)^4 = 626$$ 即 $$y^4 + 24y^2-297 = 0$$ 因式分解得$$(y^2 - 9)(y^2 + 33) = 0$$ 解得$$y = ±3$$，得到$$x = 5或-1$$ ## 二、三角 $$x^{12} = 1$$ 只有实数解多没意思，把复数解一起算出来罢 令$$x = z = a + bi (a,b\in R)= r (cos\theta + isin\theta )$$ 所以$$r^{12}(cos12\theta +isin12\theta ) = 1$$ 所以$$r^{12} = 1,12\theta = 2k\pi (k\in \mathbb{Z} )$$ 即$$r = 1,\theta= \frac{k\pi }{6} (k\in \mathbb{Z} )$$ 所以 $$x_{1} = cos0 + isin0 = 1$$ $$x_{2} = cos\frac{\pi}{6} + isin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i$$ $$x_{3} = cos\frac{\pi}{3} + isin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i$$ $$x_{4} = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i$$ $$x_{5} = cos\frac{2\pi}{3} + isin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} i$$ $$x_{6} = cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i$$ $$x_{7} = cos\pi + isin\pi = -1$$ $$x_{8} = cos\frac{7\pi}{6} + isin\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} i$$ $$x_{9} = cos\frac{4\pi}{3} + isin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2}i$$ $$x_{10} = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i$$ $$x_{11} = cos\frac{5\pi}{3} + isin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2}i$$ $$x_{12} = cos\frac{11\pi}{6} + isin\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} }{2}-\frac{1}{2}i$$ 再看一个 $$ x^3-3x+1 = 0$$ 先拿零点存在定理随便扫一遍，发现$$\left ( -2,-1 \right ) 有一根，\left ( -1,1 \right )有一根，\left ( 1,2 \right )有一根$$ 又因为n次方程最多有n个根（？不知道是什么定理，代数基本定理吗，求问）可以这么理解：n次方程分解因式最多分解成n个一次因式的乘积，所以我们把三个根的范围找到了，就不会出现用零点存在定理找到的区间有多个根的情况。 接着令$$x = cos2\theta，cos2\theta\in \left [ -2,2 \right ]，刚好三个根的区间都是cos2\theta的子集$$ 代入原式，得到 $$8cos^3\theta -6cos\theta + 1 = 0$$ $$2(4cos^3\theta - 3cos\theta) = -1 $$ 又因为$$cos3\theta = 4cos^3\theta - 3cos\theta$$ 所以$$2cos3\theta = -1,即cos3\theta = -\frac{1}{2}$$ 所以$$3\theta = \frac{2\pi}{3}或\frac{4\pi}{3}或\frac{8\pi}{3}，即\theta = \frac{2\pi}{9}或\frac{4\pi}{9}或\frac{8\pi}{9}$$ 所以 $$x_{1} = cos\frac{2\pi}{9} = \frac{\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}}}{2}\approx 0.7660$$ $$x_{2} = cos\frac{4\pi}{9} = \frac{\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}} + \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}}{2} \approx 0.1736$$ $$x_{3} = cos\frac{8\pi}{9} = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{3}i }{2} } + \sqrt[3]{\frac{1-\sqrt{3}i }{2} }}{2} \approx -0.9397$$ 似乎结束了，点个赞罢qwq 似乎导数还能解方程，萌新还没学到导数，学完了一定更qwq