ChatGPT 写高精度 - 洛谷保存站

## 来自你的消息:
什么是高精度运算

## 来自ChatAI的消息:
高精度运算是一种在计算机中进行精确计算的方法，它允许计算机使用任意位数的数字进行计算，从而避免了在计算中出现精度丢失的情况。通常情况下，计算机使用双精度数（64位）来进行计算，但在某些场景下需要使用更高精度的数据，比如需要计算数值精度较高的科学计算、金融计算、密码学计算等。在这些场景下，高精度运算可以有效地提高计算精度，虽然可能会带来一定的计算效率上的损失。

## 来自你的消息:
现在我需要计算很大的数，需要你编写四个C++函数，分别实现高精度加减乘除。

## 来自ChatAI的消息:
好的，下面是四个C++函数对应高精度加减乘除的实现。

1. 高精度加法

```c++
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

string add(string a, string b) {
    int len1 = a.size(), len2 = b.size();
    string res = "";
    int carry = 0;

reverse(a.begin(), a.end());
    reverse(b.begin(), b.end());

for (int i = 0, j = 0; i < len1 || j < len2 || carry != 0; i++, j++) {
        int x = i < len1 ? a[i] - '0' : 0;
        int y = j < len2 ? b[j] - '0' : 0;
        int sum = x + y + carry;
        res += sum % 10 + '0';
        carry = sum / 10;
    }

reverse(res.begin(), res.end());

return res;
}

int main() {
    string a = "12345678901234567890123";
    string b = "98765432109876543210987";

string res = add(a, b);

cout << res << endl;

return 0;
}
```

2. 高精度减法

```c++
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

string sub(string a, string b) {
    int len1 = a.size(), len2 = b.size();
    int i = len1 - 1, j = len2 - 1;
    int borrow = 0;
    string res = "";

while (i >= 0 || j >= 0) {
        int x = i >= 0 ? a[i--] - '0' : 0;
        int y = j >= 0 ? b[j--] - '0' : 0;
        int diff = x - y - borrow;
        if (diff < 0) {
            diff += 10;
            borrow = 1;
        } else {
            borrow = 0;
        }
        res += diff + '0';
    }

while (res.back() == '0' && res.size() > 1) {
        res.pop_back();
    }

reverse(res.begin(), res.end());

return res;
}

int main() {
    string a = "98765432109876543210987";
    string b = "12345678901234567890123";

string res = sub(a, b);

cout << res << endl;

return 0;
}
```

3. 高精度乘法

```c++
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

using namespace std;

string mul(string a, string b) {
    int len1 = a.size(), len2 = b.size();
    vector<int> vec(len1 + len2);
    string res = "";

for (int i = len1 - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = len2 - 1; j >= 0; j--) {
            int x = a[i] - '0';
            int y = b[j] - '0';
            int product = x * y + vec[i + j + 1];
            vec[i + j + 1] = product % 10;
            vec[i + j] += product / 10;
        }
    }

for (int i = 0; i < len1 + len2; i++) {
        if (!(res.empty() && vec[i] == 0)) {
            res += vec[i] + '0';
        }
    }

if (res.empty()) {
        res = "0";
    }

return res;
}

int main() {
    string a = "12345678901234567890123";
    string b = "98765432109876543210987";

string res = mul(a, b);

cout << res << endl;

return 0;
}
```

4. 高精度除法

```c++
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

string div(string a, int b) {
    int len = a.size();
    string res = "";
    int remainder = 0;

for (int i = 0; i < len; i++) {
        int num = remainder * 10 + a[i] - '0';
        res += num / b + '0';
        remainder = num % b;
    }

while (res[0] == '0' && res.size() > 1) {
        res.erase(0, 1);
    }

return res;
}

int main() {
    string a = "98765432109876543210987

## 来自你的消息:
你的除法代码貌似没写完啊

## 来自ChatAI的消息:
非常抱歉，下面是完整的高精度除法的实现：

```c++
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

string div(string a, int b) {
    int len = a.size();
    string res = "";
    int remainder = 0;

for (int i = 0; i < len; i++) {
        int num = remainder * 10 + a[i] - '0';
        res += num / b + '0';
        remainder = num % b;
    }

while (res[0] == '0' && res.size() > 1) {
        res.erase(0, 1);
    }

return res;
}

int main() {
    string a = "98765432109876543210987";
    int b = 123456;

string res = div(a, b);

cout << res << endl;

return 0;
}
```

其中，函数的参数`a`代表被除数，`b`代表除数，函数返回值是商。在除法运算中，我们将被除数逐位除以除数，得到商和余数，并用余数继续做下一次运算。最终得到的商即为结果。

注意，为了去掉高位的0，我们在函数最后使用了一个while循环从结果字符串的最高位开始删除0，直到删除完所有的0或者只剩下一位非0数字。

## 来自你的消息:
请你把四条代码都加上详细的注释，分析算法原理

## 来自ChatAI的消息:
好的，代码中添加了注释，以下是对四个函数的算法原理的简要分析。

1. 高精度加法

高精度加法的原理非常简单，只要逐位相加即可。需要注意的是，由于高精度数一般是用字符串来存储的，所以计算的时候需要将两个字符串翻转过来，从低位开始相加。另外，还需要记录一个进位的值，用于在下一位相加时处理进位的情况。

2. 高精度减法

高精度减法的原理也很简单，同样是逐位相减。需要注意的是，由于被减数和减数的大小是不确定的，可能存在被减数小于减数的情况。此时需要向高位借位，并在计算结束后去掉高位的0。

3. 高精度乘法

高精度乘法的原理是将两个高精度数逐位相乘得到中间结果，再将中间结果相加得到最终结果。同样需要注意，结果中可能存在高位的0。一种常用的优化策略是使用一个数组来保存中间结果，以减小空间复杂度，但这样会增加计算的时间复杂度。

4. 高精度除法

高精度除法的原理是将被除数逐位除以除数。每次除法操作会得到一个商和一个余数，余数用于下一次操作。需要注意的是，由于高精度数可能有很多位，所以为了避免溢出，在除法的过程中需要使用大数除以小数的方法，即将被除数的每一位都除以除数，而不能将除数扩大。另外，由于最高位可能为0，所以需要在得到结果后去掉前导0。

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