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（前言：今天怎么又5道题啊！！！）
# 错题一
# 分析题目

题目要求计算 \( 2^a + 2^b - 2^c \) 的二进制表示中1的个数。直接计算这个表达式对于大的a、b、c（比如1e9）是不现实的，因为这会得到一个极其巨大的数。因此，我们需要找到一个数学规律或模式，避免直接计算这个巨大的数。

## 关键观察

1. 当a、b、c都是不同的数时（题目保证c < b < a），我们可以考虑二进制表示：
   - \( 2^a \) 的二进制是1后面跟着a个0（例如 \( 2^3 = 1000_2 \)）
   - \( 2^b \) 的二进制是1后面跟着b个0
   - \( -2^c \) 的二进制是负的1后面跟着c个0

2. 组合起来 \( 2^a + 2^b - 2^c \)：
   - 如果b > c，那么 \( 2^b - 2^c = 2^c (2^{b-c} - 1) \)，而 \( 2^{b-c} - 1 \) 的二进制是(b-c)个1。
   - 因此，\( 2^b - 2^c \) 的二进制是1后面跟着(b-c)个1，再跟着c个0。
   - 然后再加上 \( 2^a \)，这相当于在最高位设置一个1。

3. 最终结果的二进制形式：
   - 一个1（来自 \( 2^a \)）后面跟着(a-b-1)个0，然后一个1（来自 \( 2^b \)），接着(b-c)个1（来自 \( 2^b - 2^c \)），最后c个0。
   - 但是更准确地说，可以简化为：1（a位） + 从b位开始的(b-c+1)个1（因为 \( 2^b - 2^c = 2^c (2^{b-c} - 1) \)）和后面的c个0。

4. 1的个数：
   - 最高位的1（来自 \( 2^a \)）加上(b-c+1)个1（来自 \( 2^b - 2^c \)），总共是1 + (b - c + 1) = b - c + 2。
   - 但是需要验证这个结论是否正确。

## 验证样例

样例输入：3 2 1
计算：\( 2^3 + 2^2 - 2^1 = 8 + 4 - 2 = 10 \)
10的二进制是1010，其中有2个1。
根据我们的公式：b - c + 2 = 2 - 1 + 2 = 3，与样例不符，说明公式有误。

重新思考：
\( 2^a + 2^b - 2^c \)：
- 如果a > b > c，那么 \( 2^a \) 不会影响 \( 2^b - 2^c \) 的低位。
- \( 2^b - 2^c = 2^c (2^{b-c} - 1) \)，即从c位到b-1位都是1。
- 加上 \( 2^a \) 后，二进制形式是：1（a位） + 0...0 + 1（b位） + (b-c)个1 + c个0。
- 但是这样合并后，可能会有进位。

更准确的分析：
1. \( 2^b - 2^c \) 的二进制是从c到b-1位都是1，其余是0。
2. 加上 \( 2^a \)（a > b）不会引起进位，所以结果是：
   - 第a位：1
   - 第b位：1（因为 \( 2^b \)）
   - 第c到b-1位：1（因为 \( -2^c \) 相当于在c位减去1，可能需要借位）
   - 但实际上 \( 2^b - 2^c \) 就是从c到b-1位都是1，b位是1，更高位是0。
   - 然后加上 \( 2^a \) 就是在a位设置1。
   - 所以最终二进制是：a位1，b位1，c到b-1位1，其余0。
   - 但这样1的个数是1（a位） + 1（b位） + (b - c)（c到b-1位）= 2 + b - c。
   - 对于样例：2 + 2 - 1 = 3，但实际是2，又不对。

看来需要更精确的计算：
样例：a=3, b=2, c=1
\( 2^3 = 1000 \)
\( 2^2 = 0100 \)
\( -2^1 = -0010 \)
相加：1000 + 0100 = 1100
1100 - 0010 = 1010（即10）
确实有2个1。

按照之前的思路：
b - c + 1 = 2 - 1 + 1 = 2，这与样例一致。

所以正确的公式可能是：
如果a > b > c，那么1的个数是：
- 1（来自 \( 2^a \)） + (b - c)（来自 \( 2^b - 2^c \)） = 1 + b - c。
但是样例是2，所以可能是1 + (b - c + 1) - 1？不太清楚。

另一种思路：
\( 2^a + 2^b - 2^c = 2^a + (2^b - 2^c) \)
\( 2^b - 2^c \) 的二进制有(b - c + 1)个1（因为 \( 2^{b-c+1} - 2^0 \) 的形式）。
然后加上 \( 2^a \) 会添加一个新的1，除非进位消去一些1。
但是因为a > b > c，所以不会进位消去。

因此总1的个数是1 + (b - c + 1) - ? 不太确定。

重新考虑：
\( 2^b - 2^c = 2^c (2^{b-c} - 1) \)
\( 2^{b-c} - 1 \) 的二进制是(b-c)个1。
所以 \( 2^b - 2^c \) 的二进制是1后面跟着(b-c)个1，再跟着c个0。
加上 \( 2^a \) 后，因为a > b，所以不会进位。
因此，最终的二进制是：
- 第a位：1
- 第b位：1
- 第c到b-1位：1
- 其余位：0
所以1的个数是：
1（a位） + 1（b位） + (b - c)（c到b-1位）= 2 + b - c。
对于样例：2 + 2 - 1 = 3，但实际是2。

看起来我的分析还是有误。

换一种方法：
\( 2^a + 2^b - 2^c \) 可以看作：
\( 2^a \) 的二进制：1 followed by a zeros.
\( + 2^b \) 的二进制：1 followed by b zeros.
\( - 2^c \) 的二进制：- (1 followed by c zeros).

合并：
\( 2^a + 2^b \) 的二进制：1 (a位) + 1 (b位)，其余0。
然后减去 \( 2^c \)：
如果b > c，那么从c位开始借位。
具体来说：
- 如果b == c + 1，那么 \( 2^b - 2^c = 2^c \)，所以结果是 \( 2^a + 2^c \)，二进制中1的个数是2。
- 如果b > c + 1，那么 \( 2^b - 2^c \) 会有多个连续的1。

例如：
a=3, b=2, c=1:
\( 2^3 + 2^2 - 2^1 = 8 + 4 - 2 = 10 \) (1010) -> 2个1.
a=4, b=3, c=1:
\( 16 + 8 - 2 = 22 \) (10110) -> 3个1.
a=4, b=3, c=2:
\( 16 + 8 - 4 = 20 \) (10100) -> 2个1.
看起来规律是：
如果b == c + 1，结果是2。
否则，结果是(b - c) + 1。

对于第一个样例：b=2, c=1 -> b - c =1, so 1 +1=2，正确。
第二个例子：b=3, c=1 -> b - c=2, so 2 +1=3，正确。
第三个例子：b=3, c=2 -> b - c=1, so 1 +1=2，正确。

因此，一般情况的公式是：
如果b == c + 1，结果是2。
否则，结果是(b - c) + 1。

但是第一个样例就是b = c + 1，结果是2，符合这个规则。
所以通用公式可以是(b - c) + 1。

因为：
- 当b = c + 1: (1) +1=2.
- 当b = c + k: (k) +1 = k +1.

所以最终的1的个数是(b - c) + 1。

## 结论

经过以上分析和验证，可以得出结论：
\( 2^a + 2^b - 2^c \) 的二进制表示中1的个数等于(b - c) + 1。

# 解决代码

```cpp
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << (b - c + 1) << endl;
    return 0;
}
```

## 代码解释

1. 输入三个整数a、b、c。
2. 直接计算并输出(b - c + 1)，这就是 \( 2^a + 2^b - 2^c \) 的二进制表示中1的个数。
3. 这个公式经过了数学推导和样例验证，能够高效地解决问题，即使对于很大的a、b、c（比如1e9）也能立即得出结果。

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