前言
这是第二期天竞笔记。
希望能过审。QwQ。
正文
0x00 恒星的距离
0x01 三角视差法
当恒星与地球的连线垂直于地球轨道半径时，恒星对地日平均距离 $a$ 所张的角 $\pi$ 称为恒星的周年视差。
设太阳到恒星的距离为 $r$，则有：
$$\sin \pi = \dfrac{a}{r}.$$
由于 $\pi$ 一般都很小，故上式可近似写为：
$$\pi \approx \dfrac{a}{r}.$$
其中 $\pi$ 以角秒为单位，$r$ 以 $\textup{pc}$ 为单位。
由测量得到 $\pi$，就可以计算出 $r$。
0x02 分光视差法
分光视差法是一种基于恒星光谱中特定谱线强度比与绝对星等之间的线性经验关系，通过测定谱线对的强度比推算出绝对星等，进而计算天体距离的方法。
首先选取一批已知三角视差和绝对星等 $M$ 的恒星。以谱线对的强度比（$\dfrac{I_1}{I_2}$）作为横坐标，绝对星等 $M$ 作为纵坐标。则有：
$$M = a + b\left({\dfrac{I_1}{I_2}}\right).$$
通过线性拟合（绘图或最小二乘法）确定截距 $a$ 与斜率 $b$。求出 $a$ 与 $b$ 后，对一些可测定谱线强度比的恒星，即可计算绝对星等，再结合观测视星等即可求得恒星的距离。
0x10 恒星的绝对星等与光度
定义恒星在 $10$ $\textup{pc}$ 处的视星等为绝对星等。
设恒星在 $r_0=10$ $\textup{pc}$ 处亮度为 $E_0$，在距离 $r$ 处的亮度为 $E$。
根据天体的亮度与距离的平方成反比，有如下关系：
$$\dfrac{E}{E_0} =\left({\dfrac{r_0}{r}}\right)^2.$$
两边取对数，得：
$$\lg \left({\dfrac{E}{E_0}}\right) = \lg \left({\dfrac{r_0}{r}}\right)^2$$
$$-2.5 \lg \left({\dfrac{E}{E_0}}\right) = -2.5 \lg \left({\dfrac{r_0}{r}}\right)^2$$
$$-2.5 \lg E + 2.5 \lg E_0 = -2.5 \lg r_0^2+ 2.5 \lg r^2.$$
将 $-2.5 \lg E = m_v$，$-2.5 \lg E_0 = M_v$ 代入，得：
$$m_v - M_v = -5 + 5 \lg r.$$
式中 $m_v$ 为目视星等，$M_v$ 为绝对目视星等。
定义恒星每秒发出的总辐射能量为恒星的光度（$L$）。
光度对应的星等是绝对热星等系统，即用测热辐射计测量恒星的总辐射所得到的星等系统。恒星的绝对热星等 $M_{\textup{bol}}$ 和光度 $L$ 存在如下关系：
$$M_{\textup{bol}} = -2.5 \lg L.$$
若以 $M_{\textup{bol}\odot}$ 和 $M_{\textup{bol}}$ 分别表示太阳与某恒星的绝对热星等，$L_{\odot}$ 和 $L$ 分别表示太阳与某恒星的光度，则有：
$$M_{\textup{bol}} - M_{\textup{bol}\odot} = -2.5 \lg \left({\dfrac{L}{L_{\odot}}}\right).$$
一般令 $L_{\odot} = 1$，则 $\lg L = -0.4 (M_{\textup{bol}} - M_{\textup{bol}\odot})$。
绝对热星等与绝对目视星等之差称为热改正 $BC$：
$$BC = M_{\textup{bol}} - M_v.$$
已知太阳的绝对目视星等为 $+4.83$，太阳的热改正 $BC$ 为 $-0.08$。
所以 $M_{\textup{bol}\odot} = 4.83 - 0.08 = 4.75$。
因此 $\lg L = 0.4(4.75 - M_{\textup{bol}})$。
0x20 恒星的辐射与温度
0x21 恒星的电磁辐射
恒星及其他天体的电磁辐射波段范围很广，按照波长从短到长依次为：
| 电磁辐射种类 | 波长范围 |
|---|---|
| $\gamma$ 射线 | $10^{-11}$ $\textup{nm} \sim 10^{-2}$ $\textup{nm}$ |
| X 射线 | $10^{-2}$ $\textup{nm} \sim 10$ $\textup{nm}$ |
| 紫外辐射 | $10$ $\textup{nm} \sim 350$ $\textup{nm}$ |
| 可见光 | $350$ $\textup{nm} \sim 770$ $\textup{nm}$[^1] |
| 红外辐射 | $770$ $\textup{nm}$ $\sim$ $100$ $\mu \textup{m}$ |
| 亚毫米波 | $100$ $\mu \textup{m}$ $\sim$ $1$ $\textup{mm}$ |
| 射电波 | $1$ $\textup{mm}$ $\sim$ $100$ $\textup{m}$ |
0x22 电磁辐射频率与波长的关系
波的频率 $\nu$ 是波的周期 $T$ 的倒数，即：
$$\nu = \dfrac{1}{T}.$$
波的速度 $v$ 是波长 $\lambda$ 与频率 $\nu$ 的乘积，即：
$$v = \lambda \nu.$$
0x23 黑体辐射定律
天体的辐射可以近似看作黑体辐射。
定义能够在任何温度下全部吸收任何波长辐射的物体称为绝对黑体，简称黑体。
在热动平衡下，任何物体的辐射强度和吸收系数的比值与物体的性质及表面特征无关。对于所有物体，这个比值是波长和温度的一个普适函数，称为普朗克函数。它的具体数学形式为：
$$M(\lambda,T) = \dfrac{2hc^2}{\lambda^5} \dfrac{1}{\textup{e}^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}.$$
或：
$$M(\nu,T) = \dfrac{2h\nu^3}{c^2} \dfrac{1}{\textup{e}^{\frac{h\nu}{kT}}-1}.$$
简写为：
$$M(\lambda,T) = \dfrac{c_1}{\lambda^5} \dfrac{1}{\textup{e}^{\frac{c_2}{\lambda T}}-1}.$$
在 CGS 单位制中，$c_1 = 2 hc^2 = 1.191 \times 10^{-5}$ $\textup{erg} \cdot\textup{cm}^2 / \textup{s}$，$c_2 = \dfrac{hc}{k} = 1.4388$ $\textup{cm} \cdot \textup{K}$。
辐射的峰值波长与温度成反比。在一些情况下，$\lambda T \ll c_2$，$\textup{e}^{-\frac{c_2}{\lambda T}} \ll 1$，$1 - \textup{e}^{-\frac{c_2}{\lambda T}} \approx 1$，则：
$$M_{\lambda} = \dfrac{c_1}{\lambda^5}\textup{e}^{-\frac{c_2}{\lambda T}}.$$
这就是维恩公式。
为了定出黑体辐射能量分布曲线极大值对应的波长 $\lambda_{\textup{max}}$，将普朗克函数对 $\lambda$ 求导，并令导数值为 $0$。设 $\beta = \dfrac{c_2}{\lambda T}$，则 $\dfrac{\beta \textup{e}^{\beta}}{\textup{e}^{\beta} - 1} - 5 = 0$，解得 $\beta = 4.9561$，因此：
$$\lambda_{\textup{max}} = \dfrac{0.29}{T}.$$
其中 $\lambda_{\textup{max}}$ 的单位为 $\textup{cm}$。这就是著名的维恩位移定律。
黑体在单位时间内单位面积辐射的能量称为辐射流（$F$）。辐射流与温度的关系为：
$$F= \sigma T^4.$$
这就是斯特藩-玻尔兹曼定律。
式中，$\sigma$ 为斯特藩-玻尔兹曼常量，$\sigma = 5.67032 \times 10^{-8}$ $\textup{J}/(\textup{m}^2 \cdot \textup{K}^4 \cdot \textup{s})$。
恒星的光度 $L = 4 \pi R^2 \sigma T_{\textup{e}}^4$，由此式计算得到的恒星温度（$T_{\textup{e}}$）称为恒星的有效温度。
0x30 恒星的光谱
| 光谱型 | 有效温度 $/ \textup{K}$ | 主要特征 | 颜色 |
|---|---|---|---|
| O | $2.5 \times 10^4 \sim 4 \times 10^4$ | 一次电离氦线（发射或吸收），强紫外连续谱 | 蓝色 |
| B | $1.2 \times 10^4 \sim 2.5 \times 10^4$ | 中性氦的吸收线 | 蓝白色 |
| A | $7700 \sim 1.15 \times 10^4$ | A0 型的氢强度极强，其他次型依次递减 | 白色 |
| F | $6100 \sim 7600$ | 金属线开始显现 | 黄白色 |
| G | $5000 \sim 6000$ | 太阳型光谱，中性金属原子和离子 | 黄色 |
| K | $3700 \sim 4900$ | 金属线为主，弱的蓝色连续谱 | 橙色 |
| M | $2600 \sim 3600$ | 氧化钛的分子带明显 | 红色 |
0x40 恒星的大小
0x41 月掩星法
当恒星被月球边缘掩食时会产生星光的衍射图像。用快速光电光度计记录图样变化，并与模拟不同角直径光源被月球掩食的理论衍射图样对照，从而定出被掩食星的角直径。
0x42 光斑干涉法
用大望远镜对恒星快速拍照，在大气湍流影响下，拍照得到的星像不是一个点像，而是由许多个点组成的干涉图样。根据恒星的角直径与辐射强度分布的干涉图样的关系，将恒星光斑干涉图进行频谱分析就可以求出恒星的角直径，结合它的距离即可求出其线直径。
此外，根据 $$L = 4 \pi R^2 \sigma T_{\textup{e}}^4$$ 也可以求出恒星的大小。
0x50 恒星的质量
目前，能直接测定质量的恒星只有双星。测定双星质量的基本原理是开普勒第三定律，两颗星系统的总质量与轨道半长径的立方成正比，与轨道周期的平方成反比，即：
$$m_1 + m_2 = \dfrac{a^3}{p^2}.$$
式中，$m_1$ 与 $m_2$ 以太阳质量为单位，$a$ 以 $\textup{AU}$ 为单位，$p$ 以回归年为单位。
利用观测得到的周期 $p$ 及轨道半长径 $a$，可求出两个子星的质量和 $m_1 + m_2$。再测出它们相对质心的距离 $a_1$ 与 $a_2$，即可根据 $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{a_2}{a_1}$ 分别求出两个子星的质量。
对于质量大于 $0.2 m_{\odot}$ 的主序星，恒星的质量和光度之间有很好的统计关系，称作质光关系，即恒星的质量越大，其光度越强。除特殊天体外，观测到的恒星中 $90%$ 的主序星的质量和光度都符合如下关系：
$$\lg \left( \dfrac{L}{L_{\odot}}\right) = 3.8 \lg \left( \dfrac{m}{m_{\odot}}\right) + 0.08.$$
通过观测求出恒星的光度后，即可通过质光关系求出它的质量。
0x60 恒星的运动
0x61 视向速度
当恒星远离我们时，它的谱线波长变长，称之为红移；当恒星靠近我们时，它的谱线波长变短，称之为蓝移。
设光源静止时的波长为 $\lambda_0$，光源相对于观测者的速度（视向速度）为 $v_r$，位移后的波长为 $\lambda$。令 $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0$，则：
$$v_r = \dfrac{\pm c\Delta \lambda}{\lambda_0} = zc.$$
其中 $z$ 为红移量，$z = \dfrac{\pm \Delta \lambda}{\lambda_0}$，波长增加取正号，反之取负号；$c$ 为光速。
0x62 切向速度
恒星在垂直视线方向的运动速度称为切向速度（$v_t$），恒星相对于太阳每年移动的角度称为恒星的自行（$\mu$），则：
$$v_t = \dfrac{4.74 \mu}{\pi}.$$
其中 $\pi$ 为周年视差。
通过测定恒星谱线的多普勒位移，可以求出视向速度 $v_r$；通过测定恒星的自行，可以求出切向速度 $v_t$。最终可以求出恒星的空间速度 $v$，即：
$$v^2 = v_r^2 + v_t ^2.$$
参考资料
[1] 刘学富主编. 基础天文学. 北京：高等教育出版社，2004.7。
注释
[^1]:国际照明委员会（CIE）标准定义可见光的波长范围为 $380$ $\textup{nm} \sim 780$ $\textup{nm}$。在不同的应用场景中，对可见光波长范围的定义并不一致。表格中保留参考资料 [1] 中 $350$ $\textup{nm} \sim 770$ $\textup{nm}$ 的范围。