关于圆周率计算的一些问题

_省流：_ 作者在一堆 _精彩极了_ 的梗中写出了一篇 _糟糕透了_ 的文章。

_初 见 端 倪_

最近~闲的没事干~，浅浅的估算了一下圆周率，最终取得了$6\sqrt{2-\sqrt3}$（“约”3.1058285412302491481867860514885799401888268158391661657680384877806836969856239630684156963309959862507422649871056762998020882119610603869449873624120281642470702448005129354754904643092769644887295217082801577429865064538462260572408745622010891077110671853924595066678462960033177040162590151995449775089125470865544035896124374273441460518253966302640766279283104731667488289148174090239999439983753244334864181654491848608615834241492912289306149595244428433025701751799818682349103403689512714518791575864033368801625746623893515595684625422787408709196083683221254950762359922525971884163382091744761208611942806292143151984742114352178395915213518764920132088746066337606236577679299704625576517231143995854016767482864723054977508886941688123616028125894279299958864521301224613189428107288667653716457880521834856146810573766772433596739226960427188972774986655102305909367770902865459956691911116446559795682656010576251412403995192966897078895391605953446104930203388488474716340050508763000417524074084023596897275145789614963105203250413237952487366174279419835233629744015277191329559841272996529694018306023345848942553778505011633076507151033839007191561084304094257803536055349931102039430707563527986355173381748409416554120220137830185170684057849063249405954992622960569421325870978950329397510789318066707890600126254445614226971646212283859419028389697287164919548153549202114970941260108655511555039175871167386693836763772119770840235095586835701323342059914591637510272784288831589633388396719348807478157135018069592683280023819584395274825940546359196783151356760683171283262846091901705537895358239216351186411742528671952734895749511912950338605025605945744939616807341916303168564191944273103575936928952411737023182823591524164145968298565542917497639424280494287611984186676011992344786553883995136903934473018445103959860107758312125018011488032459324786571141143251412765730787120859947116881030043574389723623488654077432590881635027308668996470183110107049108089901284929084509539230856911592527960486439934749778653375610542373948777049357328732606106960257529848936352391741696523778523749861328384208624623785498632972357449034721205576947203275780260266632605667184974384015035208638980944954964606961507676427658693519680599024418748670177408335833676633480903648539544186359994350293267401746235758068030894165012943703720606016334892330457043240261341501999845918412728891358658299583045889624531728029755028260052356957834081694545513226796526828968432631256366102230068119009867838582920905476858428230879076991968120119185163869751340937354959186116583937489026376534386434433514082052740520278799771180983175386500091038509780626760927005653449789671324387891323421750523807211379822623875727722758987945376523908517347921059737221339653017219159137027464264095775024555923810416239240165109659319154195827231889840832145848605098320668129055319265567504749293657586933172889866423721069192247572962255538850530041054092705954146117531644661857062173118551222026310134285422627158304913892939356477086975702248555785300314561186324999839943426268831329919217132626596163035481572177019889207310601210968382586653804244341616462274073409253732612720732871010282583258310350505141561327458806636329743266466144279649106093999772523592652823125522559426639115619728129257166943256612195115293800316480973953727988169017017121713960008759253563529472599503284378619820302848550543799339342009780773234318524634868216983330634782165187572721461583522355624357367246373383384989227879657642434236481635457705440821112597667977002298933811284407883162302209310632149456128890216406019380126418855065994690115856139400359387251380244405368263069707657103926942326456689755504494030267250156525342006479896780090250350056306699885700474829503577155676324737977601992209983872775540302927578131770849954435600635291432488349472819517931656944276973183557584041226619349408940760789911461805883859052243146579370933334595032436037957914442383585232215690640672720873087600822496013527185169055712876998642193913314537738095820902528780328973254724372528625109554235519537868749281147402956757199728967335666259788805656084403984432492746611570114929505536771749225751011384737562605734726199571198708557442011896518875817419714128566530230751486568337966403124183421325165232328899058585715415579564611768695887919980145709955184985446945339611050098635789040207663765301691725352037306819674638948394463102385412355691890353543726402783756462820276291455815916641936929287466017347667456247024456477284973262098446688925746671474186$^{[1]}$）的 [_好成绩_](https://www.luogu.com.cn/problem/P11532)。这是我列的表格：
||$3^*$|$6$|$12$|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|$a^{**}$|$\sqrt3r$|$r^{***}$|$\sqrt{2-\sqrt3}r$|
|$C$|$3\sqrt3r$|$6r$|$12\sqrt{2-\sqrt3}r$|
|$S$|$\frac{3\sqrt3}4r^2$|$\frac{3\sqrt3}2r^2$|$3r^2$|
|$\pi_C$|$\frac{3\sqrt3}2$|$3$|$6\sqrt{2-\sqrt3}$|
|$\pi_S$|$\frac{3\sqrt3}4$|$\frac{3\sqrt3}2$|$3$|

*：圆内接正多边形。

**：圆内接正多边形的边长。

***：圆的半径。

_不难发现_ 正三角形算出来的$\pi_C$等于正六边形算出来的$\pi_S$，而正六边形算出来的$\pi_C$又等于正十二边形算出来的$\pi_S$。我想知道，是所有的正$3\times2^n$边形算出来的$\pi_C$都等于正$3\times2^{n+1}$边形算出来的$\pi_S$呢，还是是所有的正$n$边形算出来的$\pi_C$都等于正$2n$边形算出来的$\pi_S$，又或者只是一个巧合？有人知道吗？

_这篇“传”能不能成为“专”，就看各位谷民们的“专”了！_

$1$： 使用[Wolfram|Alpha](https://www.wolframalpha.com)计算，_（广告位招租）_。

正在渲染内容...