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一种基于组合数学推导 $n$ 倍角公式的方法
最后更新于 2025-04-17 19:31:05
作者
ydzr00000
分类
学习·文化课
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对于正整数 $n$，有： $$ \sin(nx) = \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}} [i \bmod 2 = 1] (-1)^{\frac{i-1}{2}}\dbinom{n}{i}\sin^i(x)\cos^{n-i}(x) \\ \cos(nx) = \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}} [i \bmod 2 = 0] (-1)^{\frac{i}{2}}\dbinom{n}{i}\sin^i(x)\cos^{n-i}(x) \\ $$ 而根据欧拉公式，$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，基于此，进行二项式定理的推演： $$ \cos n\theta + i\sin n\theta =e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} \dbinom{n}{k}i^{n-k} \cos^k\theta\sin^{n-k}\theta $$ 做系数对应即可。
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