[Gym 102770L]List of Products 题解

## 简要题意

记 $p_i$ 为从小到大第 $i$ 个质数，并记 $v_p(n)$ 为正整数 $n$ 中质因子 $p$ 的最高次幂（ $p\nmid n$ 则为 $0$ ）。现在对于两个正整数 $x,y$，重新定义它们的大小关系：

- 若 $x=y$ ，则认为 $x$ 与 $y$ 相等。
- 否则，找到最小的正整数 $i$ 使得 $v_{p_i}(x)\neq v_{p_i}(y)$，若 $v_{p_i}(x)<v_{p_i}(y)$ 则认为 $x$ 较小，否则认为 $y$ 较小。
  
现在给出两个长度分别为 $n,m$ 的正整数序列 $a,b$ ，求将所有 $a_i\times b_j$ 按上述规则从小到大排列后第 $k$ 个数。

$n,m\leq 10^5, 2\leq a_i,b_i\leq 10^6,1\leq k\leq n\times m$

[原题链接](https://codeforces.com/gym/102770/problem/L)

## 题解

记 $V$ 为值域大小，下述 “$<$” 均表示题目中定义的小于关系。

首先，考虑对于两个整数 $x,y$ ，如何尽快比较他们的大小。由于值域不大，我们可以通过预处理筛出每个正整数的最小质因子，来做到 $O(\log V)$ 的分解质因数，这样就可以在 $O(\log V)$ 的时间内比较值域内任意两个数大小（值域内任意两个数的积是类似的）。

题目所求是第 $k$ 大，所以自然想到二分。假如已经确定 $L<ans<R$ （ $ans$ 为答案），那么如何表示出 $ans$ 的可能取值呢？尝试枚举 $i$，寻找哪些 $j$ 满足 $L<a_i\times b_j<R$ 。这时候，可以发现一个关键的性质：如果有 $a<b,c<d$，那么就有 $ac<bd$（这是因为对于任意质数 $p$，$v_p(ac)=v_p(a)+v_p(c),v_p(bd)=v_p(b)+v_p(d)$ ）。

所以，我们可以先对 $a,b$ 两个序列分别按照题目规则排序。这样，对于固定的 $i$，满足 $L<a_i\times b_j<R$ 的 $j$ 一定是一段连续的下标区间 $[lb_i,rb_i]$ 。而且如果 $i<j$ ，那么 $lb_i\geq lb_j,rb_i\geq rb_j$（这里的“$\ge$”是通常实数上的大小关系）。这样，就可以通过双指针加上 $O(\log V)$ 的大小比较，$O(n\log V)$ 的时间内找出每个 $i$ 的 $lb_i,rb_i$。

接下来，我们要选取二分的检验值。像通常一样取区间中点显然不好办到，但是我们可以在所有 $\sum_{i=1}^n{rb_i-lb_i+1}$ 个可能的乘积中随机找一个。因为在区间 $[l,r]$ 内随机一个值，期望为 $\frac{l+r}{2}$ ，所以区间长度也会期望变成原来的一半，那么二分的期望时间复杂度就可以保证。这样，我们每次在可能的乘积中随机一个，然后通过双指针处理出它对应的排名区间（因为可能有相同的数），如果可以是第 $k$ 个，就得到答案，否则更新 $L,R$ ，期望二分次数是 $O(\log(nm))$。

总复杂度 $O((n+m)\log(nm)\log V)$ （其实二分部分和排序部分的复杂度是相当的）。